cours/division euclidienne de polynômes.md

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division de polynômes	polynôme	s/maths/algèbre

[!definition] Division dans A[X] Soient P, Q \in A[X] On dit que P divise Q et on note P \mid Q s'il existe R \in A[X] tel que Q = PR

Propriétés

[!proposition]+ P \mid Q \implies \forall n \in \mathbb{N},\quad P^{n} | Q^{n}

[!proposition]+ P|Q \text{ et } Q\mid P \implies P \text{ et } Q sont polynômes associés

[!proposition]+ Soient P, Q, R, S \in A[X] Si P est polynômes associés à R Si Q est associé à S Alors P \mid Q \iff R \mid S

[!proposition]+ Théorème (division euclidienne) Soit A un anneau intègre Soient M, N \in A[X] deux polynôme tels que le coefficient dominant d'un polynôme de N soit inversible. Alors, il existe un unique couple (Q, R) \in A[X]^{2} tel que :

• M = QN + R
• \operatorname{deg}R < \operatorname{deg}N

[!démonstration]- Démonstration unicité : supposons qu'il existe Q, Q', R, R' \in A[X] tels que : M = QN + R = Q'N + R' \operatorname{deg} R < \operatorname{deg} N et \operatorname{deg} R' < \operatorname{deg}N alors R' - R = (Q' - Q) N et comme A est anneau intègre on a : \underbrace{\operatorname{deg}(R' - R)}_{\operatorname{deg} N} = \operatorname{deg}(Q - Q') + \operatorname{deg(N)} D'où suit que \operatorname{deg}(Q-Q') = \operatorname{deg}(R - R') - \operatorname{deg}N < 0 et donc que \operatorname{deg}(Q - Q') = -\infty De là il appert que Q = Q' et que R = R'

existence :

1. cas particulier \operatorname{deg}N = 0 On a donc N = a \in A^{*} (un inversible de A) Pour M = 0 on prends Q = 0 et R = 0 Sinon, on prends Q = a^{-1} M et R = 0, et on a alors : \underbrace{\operatorname{deg}R}_{-\infty} < \underbrace{\operatorname{deg}N}_{0} Et M = \underbracket{a}_{N}\cdot \underbracket{a^{-1}M}_{Q} + \underbracket{0}_{R}
2. cas particulier \operatorname{deg} M < \operatorname{deg} N Notons m = \operatorname{deg} M et n = \operatorname{deg} n M = \underbracket{0}_{Q}\cdot N + \underbracket{M}_{R} \operatorname{deg}R - \operatorname{deg}M < \operatorname{deg}N On fixe N avec \operatorname{deg}n

[!corollaire] Si K est un corps \forall M \in K[X] \forall N \in K[X] \setminus \{ 0 \} \exists (Q, R) \in K[X]^{2},\quad \begin{cases} M = QN +R\\ \operatorname{deg} R < \operatorname{deg} N \end{cases}