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- "[[distance]]"
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- "[[partie d'un espace métrique]]"
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sibling:
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- "[[norme induite]]"
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tags:
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- "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] [[distance induite]]
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> Soit $A$ une partie de $X$
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> On appelle **distance induite** l'application $d_{A} : A\times A \to \mathbb{R}$ définie par :
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> $\forall x, y \in A, \quad d_{A}(x, y) = d(x, y)$
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> Soit $A\subset X$ et $d_{A}$ la distance induite par la restriction de $d$ sur $A$
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> Alors
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> $(A, d_{A})$ est un [[espace métrique]]
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> Autrement dit, toute [[partie d'un espace métrique]] forme un espace métrique avec la distance induite par cette restriction
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^toute-partie-forme-un-espace-metrique
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> [!proposition]+ Boules pour les distances induites
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> Soit $(Y, d) \subset (X, d)$
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> Les boules de $(Y, d)$ sont les intersections des boules de $(X, d)$ avec $Y$ :
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> $B_{Y}(p, r) = Y \cap B_{X}(p, r)$
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> cela fonctionne pour les [[boule fermée|boules fermées]], les [[boule ouverte|boules ouvertes]] et les [[sphère|sphères]]
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