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alias: [ "fonction signe sans conditions", "définitions sans condtions de la fonction signe" ]
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up:: [[fonction signe]], [[Notation mathématique traditionnelle]]
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#s/maths
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![[fonction signe#^definition]]
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La fonction signe est donc la fonction qui vaut $1$ pour argument positif, $-1$ pour argument négatif, et $0$ pour l'argument $0$.
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La fonction signe est généralement considérée comme une fonction classique de la [[Notation mathématique traditionnelle|Notation Mathématique Traditionnelle]].
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Parfois, on peut cependant ne pas vouloir de telles fonctions, car leur définition n'est pas conventionnelle : il faut utiliser des conditions pour la définir
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# Définitions
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## Avec la valeur absolue
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On peut poser : $\displaystyle \mathrm{sgn}(x) = \frac{|x|}{x}$
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Cette définition ne fonctionne pas pour $x = 0$, car on ne peut pas diviser par $0$
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C'est donc une définition de la fonction signe réduite sur $\mathbb{R}^{*}$
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## Avec des [[fonctions trigonométriques]]
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$\mathrm{sgn}(x) = \left\lfloor \mathrm{th}(x) \right\rfloor \times 2 + 1$
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La fonction $\mathrm{th}(x)$ est définie sur $\mathbb{R}$, et vaut $0$ en $0$, est négative sur $\mathbb{R}^{-*}$ et positive sur $\mathbb{R}^{+*}$
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Plus précisément :
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- $x < 0 \implies \mathrm{th}(x) \in ]-1; 0[$
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- $x = 0 \implies \mathrm{th}(x) = 0$
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- $x > 0 \implies \mathrm{th}(x) \in ]0; 1[$
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On peut donc utiliser la fonction [[partie entière]] pour avoir uniquement les valeurs $-1$ ou $0$
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