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cardinal

#s/maths/ensembles

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Le cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments de cet ensemble. Soit E un ensemble, on note \text{card}(E) ou |E| le cardinal de E.

Définition

Cardinal d'un ensemble fini

Un ensemble E est dit fini s'il est vide, ou s'il existe un entier naturel n\neq0 et une suite finie (x_1,\ldots,x_n) d'éléments de E dans laquelle chaque élément de E apparaît exactement une fois. Autrement dit, un ensemble non vide est fini s'il est en bijection avec un intervalle d'entiers [\![1;n]\!]. Dans ce cas, on dira que l'ensemble est de cardinal n.

Propriétés

Soient E et F deux ensembles finis de cardinaux respectifs k et n.

• Si E et F peuvent être mises en bijection |E| = |F|.
• Tout sous-ensemble de E à un cardinal inférieur à k
  • S\subseteq E \implies |S| \leq |E|
  • S\subsetneq E \implies |S| < |E|
• |E\setminus A| = |E| - |A|
• |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|

Cardinal d'un ensemble infini

Cas dénombrable

L'ensemble \mathbb N n'est pas fini. Tout ensemble infini dénombrable est en bijection avec \mathbb N, et a donc le même cardinal.