cours/barycentre d'un système de points pondérés.md

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barycentre

up:: fonction de Leibniz title:: "G tel que $\sum\limits_{i} \Big( \lambda {i} \overrightarrow{A{i}G} \Big) = \vec{0}$", "$G = Bar((A_1, \lambda_1), (A_2, \lambda_2), \dots, (A_{k}, \lambda _{k}))$" #s/maths/algèbre

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[!definition] Barycentre d'un système de points pondérés Soit \mathcal{E} un espace affine de direction d'un espace affine \vec{E} Soit A = (A_1, A_2,\dots,A_{k}) \subset \mathcal{E} une famille de points de \mathcal{E} Soit \Lambda = (\lambda_1, \lambda_2,\dots,\lambda _{k}) une famille de scalaires Soit P = ((A_1,\lambda_1), (A_2,\lambda_2), \dots, (A_{k}, \lambda _{k})) un système de points pondérés On appelle barycentre du sytème de points pondérés $P$ l'unique point G tel que : \sum\limits_{i=1}^{k} \Big( \lambda _{i} \overrightarrow{A_{i}G} \Big) = \vec{0} (G annule la fonction de Leibniz) Ou bien, de façon équivalente : \forall P \in \mathcal{E}, \quad \left( \sum\limits_{i=1}^{k} \lambda _{i} \right)\overrightarrow{PG} = \sum\limits_{i=1}^{k} \left( \lambda _{i} \overrightarrow{PA_{i}} \right)

On note G = Bar(P) ^definition

Propriétés

Propriétés fondamentales

Soit G = Bar((A_{i}, \lambda _{i})_{i})

• Homogénéité : \forall \mu \neq 0, \quad G = Bar((A_{i}, \mu\lambda _{i})_{i})
• Commutativité : \forall \sigma \in \mathfrak{S}_{k}, \quad G = Bar((A_{\sigma(i)}, \lambda _{\sigma(i)})_{i})
  • on peut permutation points (en gardant leurs pondérations propres)
• Associativité : Bar((A_0, \lambda_0), (A_1, \lambda_1), \dots, (A_{i}, \lambda_i)) = Bar\Big( \big(Bar((A_0, \lambda_0), (A_1, \lambda_1)),\quad \lambda_0+\lambda_1\big), \quad (A_2, \lambda_2), \dots, (A_{i}, \lambda _{i}) \Big)
  • on peut remplacer un ensemble de points par leur barycentre, avec la somme de leurs poids pour poids (l'ordre du calcul n'est pas important)
  • [!] Cela suppose que la somme partielle des poids (ici \lambda_0+\lambda_1) est non nulle

Ensemble des barycentres

L'ensemble des barycentres d'une famille de points est le plan affine passant par tous ces points.

Corrollaire

Soit \mathcal{E} un espace affine Un sous ensemble \mathcal{A} de \mathcal{E} est un sous espace affine ssi \mathcal{A} est sable par "barycentrification". En particulier, Aff(\mathcal{A}) est l'ensemble des barycentres des points de \mathcal{A}