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- "[[anneau]]"
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- s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
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> Soit $(A, +, \cdot)$ un [[anneau]]
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> On dit qu'il est **principal** si :
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> 1. $A$ est [[anneau intègre|intègre]]
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> 2. tout [[idéaux d'un anneau|idéal]] est [[idéal principal|principal]]
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> - c'est-à-dire : $\forall I \text{ idéal de } A,\quad \exists a \in A,\quad I = (a) = aA$
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+
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> Soit $A$ un anneau principal
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> Soit $I \neq \{ 0 \}$ un [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $A$
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> Alors :
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> $I$ est [[idéal premier d'un anneau commutatif|premier]] $\iff$ $I$ est [[idéal maximal d'un anneau commutatif|maximal]]
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > - $I$ maximal $\implies I$ premier
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> > - $I$ premier $\implies$ $I$ maximal
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> > Supposons que $I$ est premier, et montrons que $I$ est maximal.
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> > Soit $J$ un idéal de $A$ tel que $I \subset J$
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> > Puisque $A$ est principal, $\exists p, q \in A,\quad \begin{cases} I = pA\\ J = qA \end{cases}$
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> > On a donc $pA \subset qA$
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> > et, en particulier : $p \in qA$, c'est-à-dire :
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> > $\exists a \in A ,\quad p = qa \in I$
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> > Or, $I$ est premier, donc on en déduit que $q \in I$ ou $a \in I$
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> > - cas $q \in I$
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> > Dans ce cas, puisque $I$ est absorbant (par définition), on sait que $qA \subset I \subset J$,
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> > or $qA = J$, on a donc bien $I = J$
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> > - cas $a \in I$
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> > Alors il existe $b \in A$ tel que $a = pb$
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> > donc $p = qa = qpb$
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> > $A$ est commutatif, donc $p(1 - qb) = 0$
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> > $A$ est intègre, donc on a soit $p = 0$, soit $1 - qb = 0$. Mais pas $p = 0$ car $I \neq \{ 0 \}$, donc on a $1 - qb = 0 \iff qb = 1_{A} \implies 1_{A} \in J$ d'où suit que $J = A$
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> > Donc $J$ est maximal
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> >
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> >
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# Exemples
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- $\mathbb{Z}$ est principal |