cours/anneau intègre.md

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intègre	anneau	s/maths/algèbre

[!definition] Définition Soit (A, +, \times) un anneau On dit que cet anneau est intègre si : \forall a, b \in A,\quad a b = 0 \implies a = 0 \vee b = 0 ^definition

[!idea] intuition Un anneau est intègre si il respecte : "un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul"

Propriétés

[!proposition]+ Soient a, b, \in A tels que ab = 0 si a \neq 0 alors b = 0

[!démonstration]- Démonstration si ab = 0 et a \neq 0 alors : a^{-1} a b = 0 et donc b = 0

[!proposition]+ Soient a, b, c \in A On suppose c \neq 0, alors : ac = bc \implies a = b

[!démonstration]- Démonstration ac = bc \implies (a-b)c = 0 \implies a = b puisque c \neq 0

Exemples