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up:: isomorphisme de groupes #s/maths/algèbre

[!definition] Définition Soient deux groupes A et B La relation "il existe un isomorphisme entre A et $B$" est notée A \simeq B, et est une relation d'équivalence. Si A \simeq B, on dit que "A est isomorphe à $B$" ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Invariants par isomorphisme Soient A et B deux groupes avec A \simeq B (A est isomorphe à B) et si f: A \to B est un isomorphisme On a les propriétés suivantes :

• A est commutativité \iff B est commutativité
• A est groupe monogène \iff B est groupe monogène
• Z(A) \simeq Z(B) (les centre d'un groupe de A et B sont isomorphes)
• (\#A = n) \implies (\#B = n)
• \forall x \in A,\quad o(x) = o(f(x)) (l'ordre d'un élément d'un groupe est invariant)
• le nombre d'éléments d'ordre n dans A est égal au nombre d'éléments d'ordre n dans B
  • formellement : \forall n \in \mathbb{N},\quad \#\{ x \in A \mid o(x) = n \} = \#\{ y \in B \mid o(y) = n \}

Exemples

[!example] Contre-exemple Les groupes \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} et (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{2} sont tous les deux groupe abélien de cardinal 4, mais ne sont pas isomorphes. En effet, le premier possède un élément d'ordre 4, mais tous les éléments du second sont d'ordre au plus 2.