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alias: [ "antisymétrique" ]
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up:: [[forme bilinéaire]]
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title:: "$f(u, v) = -f(v, u)$"
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] Forme bilinéaire antisymétrique
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> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
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> Soit $f$ une [[forme bilinéaire]] de $E^{2} \to \mathbf{K}$
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> $f$ est **antisymétrique** ssi : $\boxed{f(u, v) = -f(v, u)}$ quels que soient $(u, v) \in E^{2}$
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^definition
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> [!definition]- Définition Formelle
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> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
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> Une [[application]] $f$ est une **forme bilinéaire antisymétrique** ssi :
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> - $f: E^{2} \to \mathbf{K}$ (2 paramètres, à valeurs scalaires)
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> - elle est linéaire par rapport à ses deux paramètres
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> - $f((a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2}; v)) = a_{1}f((u_{1}, v))+a_{2}f((u_{2}, v))$ ([[application linéaire|linéaire]] par rapport à $u$)
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> - $f((u; a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2})) = a_{1}f((u, v_{1}))+a_{2}f((u,v_{2}))$ ([[application linéaire|linéaire]] par rapport à $v$)
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> - elle est **antisymétrique**
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> - $f(u, v) = -f(v, u)$
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^definition
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# Propriétés
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Soit $f$ une [[forme bilinéaire]] de $E^{2} \to \mathbf{K}$
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- $f$ est antisymétrique $\iff$ [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice de]] $f$ est [[matrice antisymétrique|antisymétrique]]
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