cours/fonction arg sinus hyperbolique.md

alias

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argsh arg sinus hyperbolique

up::fonction sinus hyperbolique sibling::fonction arg cosinus hyperbolique properties::bijection derivative::$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$ primitive::"" description::"$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$", "$x \mapsto \ln\left(x+ \sqrt{1+x^{2}}\right)$" title::$\arg \mathrm{sh}$ #s/maths/analyse #s/maths/trigonométrie

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application réciproque du fonction sinus hyperbolique

\begin{align*} \arg\mathrm{sh} : \quad & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & y \mapsto x \text{ tel que } y = \mathrm{sh}(x) \\ & x \mapsto \ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\end{align*}

Note : \mathrm{sh}' ne s'annulle jamais, donc \arg \mathrm{sh} existe sur \mathbb{R}

x = \sinh(y)

Propriétés

• \arg\mathrm{sh} est fonction dérivable sur \mathbb{R}
  • (\arg\mathrm{sh})'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}

démonstration de l'expression de l'arg sinus hyperbolique de \arg\mathrm{sh} x = \ln \left( x+ \sqrt{1+x^{2}} \right)