cours/ensemble des parties à n éléments d'un ensemble.md

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ensemble des parties d'un ensemble	#s/maths/ensembles

[!definition] Définition Soit E un ensemble Soit n \in \mathbb{N} L'ensemble des parties de E à n éléments est noté \mathscr{P}_{n}(E) : \boxed{\mathscr{P}_{n}(E) := \{ F \subset E \mid \#F = n \}} ^definition

Propriétés

[!proposition]+ rapport avec l'ensemble des parties d'un ensemble

• \mathscr{P}_{n}(E) \subset \mathscr{P}(E)
• \displaystyle \mathscr{P}(E) = \bigsqcup_{i = 1}^{\#E} \mathscr{P}_{i}(E)

[!démonstration]- Démonstration Tous les éléments de \mathscr{P}_{n}(E) sont des parties de E, il est donc évident que \mathscr{P}_{n}(E) \subset \mathscr{P}(E) Ensuite, on sait que tous les \mathscr{P}_{i}(E),\quad i \in \{0, 1, 2, \dots, \#E \} sont disjoints. En effet : Soient i, j \in \{0, 1, 2, \dots, \#E \} avec i \neq j Quels que soient F \in \mathscr{P}_{i}(E) et G \in \mathscr{P}_{j}(E) On sait que \#F = i et \#G = j, or on sait que i \neq j, donc F \neq G De là suit qu'aucun élément de \mathscr{P}_{i}(E) n'est aussi un élément de \mathscr{P}_{j}(E) autrement dit : \mathscr{P}_{i}(E) \cap \mathscr{P}_{j}(E) = \emptyset Et donc les \mathscr{P}_{i}(E),\quad i \in \{ 1, \dots , \#E \} sont bien disjoints.

Montrons maintenant que leur union est égale à \mathscr{P}(E). Soit F \in \mathscr{P}(E). Fixons i = \#F. F \subset E donc \#F \leq \#E et on a alors i \in \{0, 1, 2, \dots, \#E \} Or, \mathscr{P}_{i}(E) contient toues les parties de E de cardinal i, il contient donc aussi F. Ainsi, on a F \in \mathscr{P}_{\#F}(E). On a alors bien montré que : \forall F \in \mathscr{P}(E),\quad \exists i \in \{ 0, 1, 2, \dots, \#E \},\quad F \in \mathscr{P}_{i}(E) De là suit directement que : \displaystyle\mathscr{P}(E) = \bigcup _{i \in \{ 0, 1, \dots ,\#E \}} \mathscr{P}_{i}(E) Et on a déjà montré que cette union est disjointe.

Exemples