cours/cours L3.algèbre.notions fondamentales sur les groupes.conventions d'écriture.md

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conventions d'écritures conventions d'écriture pour les groupes

[!info] omission de la loi de composition interne Sauf mention contraire (par exemple, avec plusieurs lois), ou exemples standarts, on omet d'écrire la loi.

• le neutre sera noté 1_{G} ou 1
• l'inverse sera noté g^{-1}

[!example] Exemple Soit (G, *) un groupe, pour tout g, h \in G, on a g*h \in G devient : Soit G un groupe, pour tout g, h \in G, on a gh \in G

[!info] + pour les lois commutatives Si G est commutatif, on écrira parfois la loi sous forme additive : g+h = h + g (avec g, h \in G)

• le neutre sera noté 0_{G} ou 0
• l'inverse sera noté -g

[!example] Exemples \mathbb{Z}, \mathbb{R}, \mathbb{Q}, \mathbb{C}, \mathbb{D}, \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})\dots partout où on sait déjà faire des additions

[!info] notation puissance soit G un groupe soit g \in G Pour n \in N, on définit : g^{n} := \begin{cases} 1 \quad \text{si } n = 0\\ g^{n-1}g \quad \text{si } n \geq 1 \end{cases} = \underbrace{ggg\dots g}_{g \text{ apparait } n \text{ fois}} g^{-n} := \left( g^{n} \right)^{-1}

[!info] Propriétés Pour m, n \in \mathbb{Z}, on montre par réccurence que : x^{m+n} = x^{m}x^{n} = x^{n}x^{m} \left( x^{m} \right)^{n} = x^{mn} = \left( x^{n} \right)^m

[!info] pour les lois additives Dans le cas d'une loi notée additivement, les notations deviennent (avec g \in G et n \in \mathbb{N}) : g^{n} \leadsto ng g^{-n} \leadsto -ng g^{m+n}=g^{m}g^{n} \leadsto (m+n)g = mg+ng (g^{m})^{n} = g^{mn} \leadsto n(mg)=(nm)g=nmg

[!info] Proposition Soit G un groupe soient n \in Z et x, y \in G Si x et y commutent, alors (xy)^{n} = x^{n}y^{n}

[!démonstration] Démonstration On traîte d'abord le cas n \geq 0 par réccurence :

1. Initialisation (xy)^{0} = 1 = 1\times 1 = x^{0}y^{0}
2. Hérédité On suppose (xy)^{n} = x^{n}y^{n} pour un n \in \mathbb{N} Alors (xy)^{n+1} = (xy)^{n}(xy) = x^{n}y^{n}(xy) = x x^{n} y y^{n} = x^{n+1} y^{n+1} par associativité et commutativité de x et y La propriété est donc vraie par réccurence Maintenant, si n < 0, on a, par les résultats précédents : (xy)^{n} = (xy)^{-(-n)} = ((yx)^{n})^{-1} = (y^{-n}x^{-n})^{-1} \begin{align} (xy)^{n} &= (xy)^{-(-n)} \\&= ((xy)^{n})^{-1} \\&= (x^{-n}y^{-n})^{-1} &\text{ car } -n > 0 \\&= (x^{-n})^{-1}(y^{-n})^{-1} & \text{ par la prop. précédente} \\&= x^{n}y^{n} \end{align} On procède de même pour démontrer que (yx)^{n} = x^{n}y^{n}

[!example] Exemple avec le groupe du rubik's cube Les mouvements gauche et droite commutent, donc : (RL)^{2} = R^{2}L^{2}