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sr-due: 2023-06-15
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sr-interval: 239
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sr-ease: 312
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up::[[dérivation]]
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#maths/analyse
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On utilise la notation pour les [[dérivation|dérivées]] :
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- $f^{(0)}=f$
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- $f^{(n)} = (f^{(n-1)})'$ cette dérivée existe
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# Propriétés
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- Si $f^{(n)}$ existe, alors toutes les dérivées d'ordre inférieur existent
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- $\left(f^{(p)}\right)^{(q)} = f^{(p+q)}$
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## Ordre
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Dans $f^{(n)}$, on appelle **ordre** de dérivation la valeur de $n$
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Exemple :
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$f^{(5)}$ est une dérivée d'**ordre 5**
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## Théorème
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Si $f$ et $g$ sont $n$ fois dérivables avec $n\in\mathbb N^*$
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- $(f+g)$ est $n$ fois dérivable
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- $(f+g)^{(n)} = f^{(n)}+g^{(n)}$
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- $\forall k\in\mathbb R, k\times f\text{ est dérivable}$
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- $\forall k\in\mathbb R, (k\times f)^{(n)} = k\times f^{(n)}$
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- Si $g$ ne s'annule pas, $\frac{f}{g}$ est $n$ fois dérivable
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## Formule de Leibniz
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$\displaystyle(f\times g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \left( \binom{n}{k}f^{(k)}\times g^{(n-k)} \right)$
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### Exemple : $h(x) = x^2 \times e^{3x}, \mathscr D_f = \mathbb R$
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On pose $f(x) = x^2$ et $g(x) = e^{3x}$
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- $f^{(0)}=x^2$
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- $f^{(1)}=2x$
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- $f^{(2)} = 2$
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- $\vdots$
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- $f^{(n)}(x) = 0$ pour $n\geq 3$
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- $g^{(0)} = e^{3x}$
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- $g^{(1)}=3e^{3x}$
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- $g^{(2)}=9e^{3x}$
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- $\vdots$
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- $g^{(n)}=3^n \cdot e^{3x}$
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Donc:
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$$\begin{align}
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h^{(4)}(x) &= \sum_{k=0}^4 \left( \binom4k \cdot f^{(k)}(x) \cdot g^{(4-k)}(x) \right)\\[2ex]
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&= x^2 \cdot 81e^{3x} + 4 \cdot 2x \cdot 27e^{3x} + 6 \cdot 2 \cdot 9e^{3x} + 0\\[1ex]
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&= 27e^{3x}\left( 3x^2 + 8x + 4 \right)
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\end{align}$$
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