cours/schéma mu borné.md

up, tags, aliases

up	tags	aliases
fonction récursive primitive	s/informatique s/maths/logique	schéma µ borné

[!proposition] schéma mu borné Soit A \subseteq \mathbb{N}^{p+1} un ensemble récursif primitif La fonction f \in \mathscr{F}_{p+1} définie comme suit est fonction récursive primitive :

• f(\overline{x}, z) = 0 s'il n'existe pas d'entier t \leq z tel que (\overline{x}, t) \in A
• sinon f(\overline{x}, z) est égal au plus petit des entiers t \leq z tels que (\overline{x}, t) \in A
• i On utilisera la notation : \boxed{f(\overline{x}, z) = \mu t \leq z ((\overline{x}, t) \in A)}

[!definition] Définition formelle La fonction f est définie par récurrence, fonction récursive primitive#^schema-par-cas, et par fonction récursive primitive#^somme-et-produits-limites :

• f(\overline{x}, 0) = 0
• f(\overline{x}, z+1) = f(\overline{x}, z) si \sum\limits_{y=0}^{z} \Big( \chi _{A}(\overline{x}, y) \Big)\geq 1 (permet de tester si au moins un y \leq z est dans A)
• f(\overline{x}, z+1) = z+1 sinon et si (\overline{x}, z+1) \in A
• f(\overline{x}, z+1) = 0 dans les autres cas ^main