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up:: [[série de Fourier]]
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title:: "si $f$ admet une dérivée à droite ($f'(x^{+})$) et à gauche ($f'(x^{-})$), alors $SF_{f}(x) = \dfrac{f(x^{-}) + f(x^{+})}{2}$"
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#s/maths/analyse
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> [!definition] théorème de Dirichlet
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> Soit $f$ une fonction intégrable sur $I$, et [[dérivable par morceaux]] sur $I$
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> Soit $SF_{f}$ la [[série de Fourier]] de $f$.
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> On sait que, pour tout $x \in I$
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> - si $f$ est dérivable en $x$, alors $SF_{f}(x) = f(x)$
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> - si $f$ n'est pas dérivable en $x$, alors :
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> - si $f$ admet une dérivée à droite ($f'(x^{+})$) et à gauche ($f'(x^{-})$)
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> - $\boxed{SF_{f}(x) = \frac{f(x^{-}) + f(x^{+})}{2}}$
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^definition
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> [!definition] Corollaire
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> En particulier, si une fonction $f$ est dérivable sur $I$, alors sa [[série de Fourier]] [[suite de fonctions convergente|converge]] toujours vers elle-même :
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> $f \text{ dérivable en } x \implies SF_{f}(x) = f(x)$ |