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up::[[trigonométrie]]
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#s/maths/trigonométrie #t/démonstration
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Preuve de $\tan(a+b) = \dfrac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}$
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$$\begin{align}
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\tan(a+b) &= \dfrac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)}\\
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&= \dfrac{\sin(a)\cos(b) + \sin(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)}\\
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&= \dfrac{\sin(a)\cos(b)+\sin{b}\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)\left(1-\dfrac{\sin(a)\sin(b)}{\cos(a)\cos(b)}\right)}\\
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&= \dfrac{\dfrac{\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)}}{1-\tan(a)\tan(b)}\\
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&= \dfrac{\dfrac{\sin(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)}+\dfrac{\sin(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)}}{1-\tan(a)\tan(b)}\\
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&= \dfrac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}
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\end{align}$$
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On utilise les [[formules de trigonométrie#Formules de somme|formules de somme]] pour le $\sin$ et le $\cos$.
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