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- "[[loi de probabilités discrète]]"
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- s/maths/probabilités
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> [!definition] Définition
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> Soit $\lambda \in \mathbb{R}^{+}$ ($\lambda \geq 0$)
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> Une [[variable aléatoire réelle]] suit une **loi géométrique** de paramètre $\lambda$ si :
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> $\boxed{\mathbb{P}_{X} = \sum\limits_{k \geq 0}e^{ -\lambda } \frac{\lambda^{k}}{k!} \delta _{k}}$
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> On note alors $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Additivité
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> Si $X \sim \mathcal{P}(\lambda),\quad \lambda\geq 0$
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> et $Y \sim \mathcal{P}(\mu),\quad \mu\geq 0$
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> Et $X$ et $Y$ sont indépendantes
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> Alors $X + Y \sim \mathcal{P}(\lambda+\mu)$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > soit $k \in \mathbb{N}$
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> > $P(X + Y < k) = ?$
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> > $\{ \{ Y = l \} \mid l \in \mathbb{N}\}$ forme un [[système complet d'événements]], donc par la formule des probabilités totales :
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> > $\begin{align} \mathbb{P}(X + Y = k) &= \sum\limits_{l \geq 0}\mathbb{P}(X+Y = k \text{ et } Y = l) \\&= \sum\limits_{l \geq 0} \mathbb{P}(X=k-l \text{ et } Y = l) \\&= \sum\limits_{l=0}^{k} \mathbb{P}(X = k-l)\mathbb{P}(Y = l) & \text{car } X \text{ et } Y \text{ sont indépendantes} \\&= \sum\limits_{l=0}^{k} \left( e^{ -\lambda } \frac{\lambda^{k-l}}{(k-l)!} \cdot e^{ \mu } \frac{\mu^{l}}{l!} \right) \\&= \frac{e^{ -(\lambda+\mu) }}{k!} \sum\limits_{l=0}^{k} \binom{k}{l} \mu^{l}\lambda^{k-l} \\&= e^{ -(\lambda+\mu) } \frac{(\lambda+\mu)^{k}}{k!} & \text{par le binôme de Newton} \end{align}$
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> > D'où il appert que $X + Y \sim \mathcal{P}(\lambda + \mu)$
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> [!proposition]+ [[espérance]]
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> Soit $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ pour $\lambda \geq 0$
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> On a : $\boxed{\mathbb{E}(X) = \lambda}$
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# Exemples
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