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aliases:
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up:
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- "[[isomorphisme]]"
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- "[[morphisme d'anneaux]]"
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tags:
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- s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Premier théorème d'isomorphisme
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> Soient $A, B$ deux [[anneau|anneaux]]
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> Soit $f : A \to B$ un [[morphisme d'anneaux]]
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> Alors :
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> $\begin{align} \tilde{f} : A / \ker f &\to \operatorname{Im}f \\ \overline{x} &\mapsto f(x) \end{align}$
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> est un isomorphisme d'anneaux
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On sait que $\tilde{f}$ est un [[morphisme de groupes]] additifs
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> > - $\tilde{f}$ est bien défini (cela est manifeste)
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> > - $\tilde{f}$ est un [[morphisme d'anneaux]]
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> > $\tilde{f}(1_{A}) = 1_{B}$
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> > $\tilde{f}(x+y) = \tilde{f}(x)+\tilde{f}(y)$
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> > $\tilde{f(\overline{xy})} = \tilde{f}(\overline{x})\tilde{f}(\overline{y})$ quels que soient $\overline{x}, \overline{y} \in A /I$
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> > - $\tilde{f}$ est bijective
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# Exemples
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