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alias: "inverse"
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up::[[matrice]]
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title::"$M^{-1}$ telle que $M^{-1}\times M= M \times M^{-1} = \mathrm{Id}$"
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#s/maths/algèbre
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Soit $M$ une [[matrice]]. On note $M^{-1}$ la matrice _inverse_ de $M$, si elle existe, la matrice telle que $M\times M^{-1} = M^{-1}\times M = Id$ la [[matrice identité]]
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# Matrice inversible
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Soit $A$ une matrice, elle est dite _inversible_ si $\exists B, AB=BA=Id$
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## Théorème
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Soit une matrice $A$ carrée de dimension $n\times n$. La matrice $A$ est _inversible_ ssi pour tout vecteur colonne $Y$ (de taile $n\times 1$), le système $AX=Y$ d'inconnue le vecteur colonne $X$ (de taille $n\times 1$) admet **une et une seule** solution. On a alors $X=A^{-1}Y$
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## Théorème
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Une matrice est inversible ssi son [[déterminant d'une matrice|déterminant]] est **non nul**
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En effet : $A^{-1} = \dfrac1{\det(A)}B$ où $B$ est une matrice avec les mêmes coefficients que $A$ (cf. Théorème suivant).
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## Théorème
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Soit $A$ une matrice inversible, $A^{-1} = \dfrac1{\det(A)}\,^T\!\text{comat}(A)$
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Soit : $A^{-1}=\dfrac{\,^T\!\text{comat}(A)}{\det(A)}$
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Où $\text{comat}(A)$ est la [[comatrice]] de $A$
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> L'inverse d'une matrice est la transposée de sa comatrice, divisée par son déterminant.
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### Pour des matrices de taille $2\times 2$
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Soit $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$, $\det(A) = ad-bc$, et on a : $A^{-1} = \dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$
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# Propriétés
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- Pour qu'une matrice soit _inversible_, elle doit être carrée
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- Soit $M$ et $M^{-1}$, la propriété est que $M\times M^{-1}=M^{-1}\times M=Id$, ont doit pouvoir multiplier $M$ et $M^{-1}$ dans les deux sens, elles doivent donc être carrées
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- Pour qu'une matrice soit _inversible_, il faut et suffit que sont [[déterminant d'une matrice|déterminant]] soit non nul
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- $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
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- ![[inverse d'une matrice 2022-11-09 20.33.24.excalidraw]]
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- $\displaystyle\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1} = \frac{1}{\det(A)}$
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- évident car $\det(A) \times \det(A^{-1}) = \det(A \times A^{-1}) = \det(Id) = 1$
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# Exemple
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$A = \begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$
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A Est inversible ssi il existe $A^{-1}$ telle que $A\times A^{-1}=Id_2$
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On pose $A^{-1} = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$
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$$\begin{align}
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A\times A^{-1} = Id_2 &\iff \left\{ \begin{gathered}
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a+2c = 1\\
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b+2d = 0\\
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3c = 0\\
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3d = 1
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\end{gathered} \right. \\
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&\iff \left\{\begin{gathered}
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a = 1\\
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b = \dfrac{-2}3\\
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c = 0\\
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d = \dfrac13\\
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\end{gathered}\right.\\
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& \iff A^{-1} = \begin{pmatrix}1&\dfrac{-2}3\\0&\dfrac13\end{pmatrix}
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\end{align}$$
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