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sibling:: [[combinaison linéaire]]
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author:: [[Leibniz]]
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title::
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] Fonction de Leibniz
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> Soit $\mathbf{K}$ un [[corps]]
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> Soit $\mathcal{E}$ un $\mathbf{K}$-[[espace affine]] de direction $\vec{E}$
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> Soient $(A_1, A_{2}, \dots, A_{k}) \in \mathcal{E}^{k}$ des points de $\mathcal{E}$
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> Soient $(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda _{k}) \in \mathbf{K}^{k}$ des scalaires
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> La **fonction de Leibniz** est la fonction :
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> $$
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> \begin{align}
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> \varphi :\; & \mathcal{E} \to E \\
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> & M \mapsto \sum\limits_{i=1}^{k} \lambda _{i}\overrightarrow{A_{i}M}
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> \end{align}
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> $$
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>
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> Par la [[relation de chasles]], on obtient : $\varphi(M) = \lambda\overrightarrow{OM} + \varphi(O)$, où $\lambda = \sum\limits_{i=1}^{k}\lambda _{i}$
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> C'est un analogue des [[combinaison linéaire|combinaisons linéaires]], mais sur des points plutôt que des vecteurs.
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^definition
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# Propriétés
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On reprends la fonction $\varphi$ de la définition, ainsi que ses coefficients : $(A_{i})$ et $(\lambda _{i})$
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On a $\lambda = \sum\limits_{i=1}^{k}\lambda _{i}$
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- $\varphi$ est constante si $\lambda=0$
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- facile à montrer car on sait que $\varphi(M) = \lambda\overrightarrow{OM}+\varphi(O)$
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- sinon, si $\lambda \neq 0$ il existe un unique points $G$ tel que $\varphi(G) = \vec{0}$
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- $\lambda \neq 0 \implies \exists!G \in \mathcal{E}, \varphi(G) =\vec{0}$
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- $G$ est alors le [[barycentre d'un système de points pondérés]] du système de points pondérés $(A_{i}, \lambda _{i})_{i}$
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