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alias: ["arccos", "arccosinus", "fonction arccosinus"]
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up::[[fonction cosinus]]
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sibling::[[fonction arcsinus|arcsin]]
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properties::
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description::"$[-1;1] \to \left[ - \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$", "$x \mapsto \arccos(x)$"
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derivative::"$- \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$"
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primitive::"$x \arccos (x) - \sqrt{ 1 - x^{2} } + \text{cste.}$"
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title::$\arccos$
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#s/maths/analyse #s/maths/trigonométrie
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La fonction $\arccos$ est la [[application réciproque]] de la [[fonction cosinus]].
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La fonction $\cos$ n'est pas [[bijection|bijective]] sur $\mathbb{R}$, mais réduite à l'intervalle $[0; \pi]$, $\cos/_{[0;\pi]}$ est [[application continue|continue]] et [[fonction monotone|strictement monotone]], donc elle est bijective.
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Elle possède donc une [[application réciproque]], la fonction $\arccos$ :
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$$\begin{aligned}
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\cos: &[0; \pi] \rightarrow [-1; 1]\\
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&x \mapsto \cos(x)\\
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&\\
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\arccos: &[-1; 1] \rightarrow \left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right]\\
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&x \mapsto y\text{ tel que }\cos(y) = x \text{ et } y\in[0, \pi]\\
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\end{aligned}$$
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```desmos-graph
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width=400pt; height=400pt;
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top=3.5;
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left= -2;right=2;
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bottom=-0.5;
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y=\arccos(x)
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```
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# Propriétés
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- $\cos(\arcsin(x)) = -\sqrt{1 - x^2}$
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- $\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - x^2}$
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## Dérivation
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$\arccos$ est [[fonction dérivable|dérivable]] sur $\mathbb R$ (son [[ensemble de définition]]).
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La [[dérivation|dérivée]] de $\arccos$ peut être calculée grâce à la formule de [[dérivation]] d'une fonction réciproque :
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$(f^{-1})' = \dfrac1{f'\circ f^{-1}}$
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- On à alors :
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$$\begin{aligned}
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\arccos'(x) &= \dfrac1{\cos'(\arccos x)}\\
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&= -\dfrac1{\sin(\arccos x)}\\
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&= -\dfrac1{\sqrt{\sin^2(\arccos x)}}\\
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&= -\dfrac1{\sqrt{1 - \cos^2(\arccos x)}}\\
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&= -\dfrac1{\sqrt{1 - x^2}}
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\end{aligned}$$
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## Equations avec des arccosinus
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Pour résoudre une équation avec des $\arccos$, on commence par poser :
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$$\arccos x = y \iff \left\{ \begin{array}{l} x = \cos y\\\text{et}\\y \in [0; \pi] \end{array} \right.$$
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