25 lines
933 B
Markdown
25 lines
933 B
Markdown
up::[[équation diophantienne]]
|
|
title::"$ax+by=c \qquad (a, b, c)\in\mathbb{Z}^{3}$"
|
|
#s/maths/arithmétique
|
|
|
|
----
|
|
|
|
|
|
> [!definition] Equation linéaire à 2 variables entières
|
|
> Ue équation linéaire à deux variables entières est une équation de la forme :
|
|
> $(E) : ax+by = c$
|
|
> où $(a, b, c)\in\mathbb{Z}^3$
|
|
^definition
|
|
|
|
# Propriétés
|
|
- L'équation $(E)$ possède des solutions $(x, y)\in\mathbb{Z}^2$ **si et seulement si $\mathrm{pgcd}(a,b)|c$**
|
|
- voir : [[pgcd]] et [[divisibilité]]
|
|
- conséquence du [[théorème de Bézout]]
|
|
- Si $\mathrm{pgcd}(a; b)|c$ alors il existe une **infinité** de solutions entières
|
|
- Si il existe des solutions, elles sont **exactement** les couples $(x, y)$ dans $\{(x_0+\alpha k, y_0+\beta k) | k\in\mathbb{Z}\}$ avec $(x_0,y_0,\alpha,\beta)\in\mathbb{Z}^4$
|
|
|
|
# Trouver des solutions
|
|
|
|
On utilise l'[[algorithme d'Euclide inverse]] pour trouver des [[coefficients de Bézout]]
|
|
|