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sr-due, sr-interval, sr-ease, alias, aliases

sr-due	sr-interval	sr-ease	alias	aliases
2023-02-14	192	295	permuter	permuter permutations

up::algèbre #maths/algèbre

[!definition] Une permutation est une bijection d'un ensemble dans lui-même. Notamment, une permutation de n\in\mathbb N éléments est une bijection d'un ensemble fini de cardinal d'un ensemble n sur lui-même.

On parle généralement des permutations sur un intervalle [\![1;n]\!]. ^definition

• I Une permutation représente le réarrangement d'objets.

title: "Sous-notes"
type: tree
collapse: false
show-attributes: [field]
field-groups: [downs]
depth: [0, 0]

Notation

On note \mathfrak S_n l'ensemble des permutations sur [\![1;n]\!].

un élément \sigma\in\mathfrak S_n se note : \begin{pmatrix}1&2&\cdots&i&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(i)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}

• exemple de permutations sur \mathfrak S_3 :

  • • permutation identité :
      • id_3: \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}
      • ici, id(1) = 1, id(2)=2, id(3)=3
  • • autres permutations :

      • s_1: \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}

      • s_2: \begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}

      • s_3: \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}

      • s_4: \begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}

      • s_5: \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}

      • s_6: \begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}

• Soient (\sigma, \phi)\in(\mathfrak S_n)^2, on note \sigma\circ \phi la composition de permutations \sigma et \phi, qui est l'application d'abord de $\phi$ puis de \sigma

  • elle est équivalente à la composition des fonctions associées

• \sigma^n la composée n fois de \sigma avec elle-même

  • \sigma^0 = id
  • \sigma^1 = \sigma
  • \sigma^n = \sigma\circ\sigma^{n-1}

• Permutation réciproque : \sigma^{-1}

  • \forall n, \sigma(\sigma^{-1}(n)) = \sigma^{-1}(\sigma(n)) = n
  • comme une généralisation de \sigma^n
  • parce que cela correspond à la application réciproque (notée f^{-1} aussi)