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up::arithmétique
title:: a \equiv b [n] \iff n \mid a-b
#maths/arithmétique
[!definition] Congruence La congruence modulo
nest la relation qui est vraie sin \mid a-b\boxed{a \equiv b[n] \iff n\mid a-b}^definition
Propriétés
- la congruence est une relation d'équivalence pour tout
n \in \mathbb{N}
Opérations sur les congruences
-
ka \equiv kb [kn] \iff a \equiv b[n]démonstration simplification de la congruence#Simplification totale- [!]
ka\equiv kb[n] \;\;\;\not\!\!\!\!\!\iff a\equiv b[n]
- [!]
-
\begin{cases} ka\equiv kb[n]\\ \text{pgcd}(k, n) = 1 \end{cases} \implies a\equiv b[n]démonstration simplification de la congruence#Simplification partielle (sans le modulo)- [!] on ne peut simplifier que si
ketnsont nombres premiers entre eux
- [!] on ne peut simplifier que si
-
Si
nest nombre premier, alors\left( \left( \raise{2pt}\mathbb{Z}/\raise{-2pt}{n\mathbb{Z}} \right)^{*} , \times \right)est un groupe, et donc tous ses éléments sont inversibles. les équations de la formekx \equiv i [n] \Big|_{i\in\mathbb{Z},\, k\in\mathbb{Z}^{*}}ont alors une unique solution,x = k^{-1}\times i