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up::courbe paramétrée #maths/algèbre
Soit une courbe paramétrée f: t \mapsto M(t)
Lorsque la courbe approche sa tangente en un point t_0, la courbe peut être positionée de plusieurs manières par rapport à sa tangente :
- point d'allure ordinaire :!courbe paramétrée - point d'allure ordinaire.excalidraw
- point d'inflexion : !courbe paramétrée - point d'inflexion.excalidraw
- rebroussement de première espèce : !courbe paramétrée - rebroussement de première espèce.excalidraw
- rebroussement de seconde espèce :!courbe paramétrée - rebroussement de seconde espèce.excalidraw
Note : rebroussements Intuitivement, un rebroussement ne peut être qu'en un Point stationnaire d'une courbe paramétrique, car en un point où la "vitesse" est non nulle, on continue son chemin dans le même sens.
Déterminer la position de la tangente
Soit f: t\mapsto (x(t); y(t)) une courbe paramétrée
Pour trouver la position de la tangente en t_0 à f, on calcule le développement limité de x et y au voisinage de t_0
Si on suppose que t_{0} = 0, on a :
M(t) = M(0) + t^{p}\vec{v} + t^{q}\vec{w} + t^{q}\vec{\epsilon}(t)
où :
(p, q)\in\N^{2}etp < q\vec{v}et\vec{w}sont des vecteur non vecteurs colinéaires- Ils sont une base d'un espace vectoriel puisque l'on est en dimension 2
\vec{\epsilon}(t)est un vecteur tel que\disp\lim_{t\rightarrow t_{0}} (||\vec{\epsilon}(t)||) = 0
En un tel point M(0), la courbe \mathscr C admet une tangente, dont un vecteur directeur est \vec{v}
La position de \mathscr C par rapport à cette tangente est donnée par la parité de p et q :
!courbe paramétrée - point d'allure ordinaire - parité.excalidraw !courbe paramétrée - point d'inflexion - parité.excalidraw !courbe paramétrée - rebroussement de première espèce - parité.excalidraw !courbe paramétrée - rebroussement de seconde espèce - parité.excalidraw