982 B
#maths/algèbre
Soit le système :
(S) :\left\{ \begin{gathered}ax+by = c\\ a'x + b'y = c' \end{gathered}\right.
$$\begin{align*} (S) & \iff \begin{pmatrix} a&b\a'&b' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \ c'\end{pmatrix}\ &\iff \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a&b\a'&b'\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}c\c'\end{pmatrix}\ &\iff \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \frac{1}{\left|\small \begin{matrix}a&b\a'&b'\end{matrix} \right|} \begin{pmatrix}cb' - c'b\c'a-ca'\end{pmatrix}\ &\iff \left{\begin{gathered} x = \frac{1}{\left|\small \begin{matrix}a &b\a'&b'\end{matrix}\right|} \left| \begin{matrix}c & b\ c' & b'\end{matrix} \right| \ y = \frac{1}{\left|\small \begin{matrix}a &b\a'&b'\end{matrix}\right|} \left| \begin{matrix}a&c\a'&c'\end{matrix} \right| \end{gathered}\right. &\end{align*}$$
Donc, si \begin{pmatrix} a&b\\a'&b' \end{pmatrix}^{-1} existe, il y a une unique solution au système (S)