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up::[[suite]]
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title::"les $u_{n}$ pour $n$ grand sont _proches_ les uns des autres"
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#s/maths/analyse
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> [!definition] Suite de Cauchy
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> Soit $(u_{n})_{n}$ une suite
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> On dit que $(u_{n})_{n}$ est une *suite de Cauchy* ssi :
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> $\forall \varepsilon > 0, \quad \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \quad \forall (n, m) \in \mathbb{N}^{2}, \quad (n \geq n_{0} \wedge m \geq n_{0}) \implies |u_{n}-u_{m}| \leq \varepsilon$
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^definition
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# Propriétés
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- Sur $\mathbb{R}$, toute [[suite convergente]] est de cauchy
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- Sur un [[ensemble complet]], toute suite de cauchy est convergente
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- Exemple : $\mathbb{Q}$ n'est pas complet, et certaines suites de cauchy sur $\mathbb{Q}$ convergent vers un élément de $\mathbb{R}$ mais pas de $\mathbb{Q}$
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