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- "[[polynôme]]"
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- "[[endomorphisme linéaire]]"
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tags:
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- s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
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> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] avec $\dim(E) = n$
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> Soit $P = a_0 + a_1 X + \cdots +a_{k}X^{k} \in K[X]$ ([[polynôme]])
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> On note alors :
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> - Si $f \in \mathscr{L}(E)$ alors $P(f) = a_0 \mathrm{Id}_{E} + a_1 f + \cdots + a_{k}f^{k}$
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> - Si $A \in \mathcal{M}_{n}(K)$ alors $P(A) = a_0 I_{n} + a_1 A + \cdots + a_{k}A^{k}$
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Les polynômes d'endomorphismes sont linéaires
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> $P(f) \in \mathscr{L}(E)$
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> [!proposition]+ Préservation des bases
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> Si $B$ est une [[base d'un espace vectoriel|base]] de $E$, alors $[P(f)]_{B} = P([f]_{B})$
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> - dem Cela vient du fait que $f \mapsto [f]_{B}$ est un [[isomorphisme d'anneaux]]
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> [!proposition]+ Les polynômes d'endomorphismes sont linéaires
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> $(\lambda P + Q)(f) = \lambda P(f) + Q(f)$
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> [!proposition]+ Commutativité des polynômes d'endomophismes
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> $(PQ)(f) = P(f) \circ Q(f) = (QP)(f)$
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> - I en particulier : $P(f) = (\mathrm{id} \circ P)(f) = \mathrm{id}(f) \circ P(f) = f(P(f))$
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> [!proposition]+ Stabilité du [[noyau d'un morphisme de groupes|noyau]] et de l'image
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> $\ker P(f)$ et $\operatorname{Im} Q(f)$ sont stables par $f$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > $P(f)(f(x)) = f(P(f)(x))=0$ donc $f(x) = \ker P(f)$
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> > De même, si $x \in \operatorname{Im}(P(f))$ alors il existe $y \in E$ tel que $x = P(f)(y)$, et on a alors $f(x) = f(P(f)(y)) \in \operatorname{Im}(f)$
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> [!proposition]+ Valeurs propres
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> Si $\lambda$ est [[valeur propre d'une matrice|valeur propre]] de $f$ alors $P(\lambda)$ est valeur propre de $P(f)$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On montre par réccurence que $\lambda^{k}$ est valeurs propre de $f^{k}$ et on en déduit le résultat.
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> [!proposition]+ Lemme des noyaux
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> Soit $f \in \mathscr{L}(E)$ et $P_1, \dots, P_{k} \in K[X]$ deux à deux premiers entre eux
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> Posons $P = P_1 \cdot P_2 \cdots P_{k}$
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> alors : $\ker P(f) = \oplus _{i=1}^{k} \ker P_{i}(f)$
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# Exemples
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