49 lines
1.4 KiB
Markdown
49 lines
1.4 KiB
Markdown
---
|
|
aliases:
|
|
- engendré
|
|
up:
|
|
- "[[idéaux d'un anneau|idéal]]"
|
|
tags:
|
|
- s/maths/algèbre
|
|
---
|
|
|
|
> [!definition] Définition
|
|
> Dans un anneau $(A, +, \cdot)$
|
|
> Soit $X \subset A$
|
|
> L'idéal $(X)$ **engendré par $X$** est défini par :
|
|
> $\displaystyle (X) = \bigcap_{\substack{I \text{ idéal}\\ X \subset I}} I$
|
|
^definition
|
|
|
|
# Propriétés
|
|
|
|
> [!proposition]+
|
|
> Soit $A$ un anneau et $X \subset A$
|
|
> $X = 0 \implies (X) = \{ 0 \}$
|
|
|
|
> [!proposition]+
|
|
> Soit $A$ un anneau
|
|
> Soit $X \subset A$ avec $X \neq \emptyset$
|
|
> alors :
|
|
> $\displaystyle (X) = \left\{ \sum\limits_{l = 1}^{n}(a_{l} i_{l}) \middle| \begin{array}{l} m \in \mathbb{N}^{*}\\ a_{l} \in A\\ i_{l} \in X \end{array} \right\}$
|
|
>
|
|
> > [!démonstration]- Démonstration
|
|
> > Posons $\displaystyle J = \left\{ \sum\limits_{l = 1}^{n}(a_{l} i_{l}) \middle| \begin{array}{l} m \in \mathbb{N}^{*}\\ a_{l} \in A\\ i_{l} \in X \end{array} \right\}$
|
|
> >
|
|
> > - $J \subset (X)$ est évident
|
|
> > - on vérifie que $J$ est un idéal qui contient $X$
|
|
> > ainsi :
|
|
> > $\displaystyle X = \bigcap _{\substack{I \text{ idéal}\\ X \subset I}} (I) \subset J$
|
|
> > donc $X \subset J$
|
|
> >
|
|
> > Ainsi, par double inclusion on a :
|
|
> > $X = J$
|
|
>
|
|
> > [!corollaire]+ Idéaux engendrés par des ensembles finis
|
|
> > Soit $A$ un [[anneau]]
|
|
> > Soit $X = \{ a_1, a_2, \dots, a_{k} \} \subset A$ avec $k \in \mathbb{N}^{*}$
|
|
> > Alors :
|
|
> > $(X) = a_1A + a_2A + \cdots + a_{k}A$
|
|
|
|
# Exemples
|
|
|