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alias: ["argsh", "arg sinus hyperbolique"]
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up::[[fonction sinus hyperbolique]]
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sibling::[[fonction arg cosinus hyperbolique|argch]]
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properties::[[bijection|bijective]]
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derivative::$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$
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primitive::""
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description::"$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$", "$x \mapsto \ln\left(x+ \sqrt{1+x^{2}}\right)$"
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title::$\arg \mathrm{sh}$
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#s/maths/analyse #s/maths/trigonométrie
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[[application réciproque]] du [[fonction sinus hyperbolique|sinus hyperbolique]]
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$\begin{align*} \arg\mathrm{sh} : \quad & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & y \mapsto x \text{ tel que } y = \mathrm{sh}(x) \\ & x \mapsto \ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\end{align*}$
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**Note :** $\mathrm{sh}'$ ne s'annulle jamais, donc $\arg \mathrm{sh}$ existe sur $\mathbb{R}$
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```desmos-graph
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x = \sinh(y)
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```
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# Propriétés
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- $\arg\mathrm{sh}$ est [[fonction dérivable|dérivable]] sur $\mathbb{R}$
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- $(\arg\mathrm{sh})'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$
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[[démonstration de l'expression de l'arg sinus hyperbolique|démonstration]] de $\arg\mathrm{sh} x = \ln \left( x+ \sqrt{1+x^{2}} \right)$
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