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up::[[fonction négligeable devant une autre]]
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#s/maths/analyse #t/démonstration
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Démonstration de $f = o_{+\infty}(g) \iff \forall \varepsilon > 0, \forall b \in \, \forall x \in X, x \geq b \implies |f(x)| \leq \varepsilon|g(x)|$
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Supposons que $f = o_{+\infty}(g)$
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Donc $f = hg$ avec $\lim\limits_{+\infty}h = 0$
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Soit $\varepsilon > 0$ il existe $b \in \mathbb{R}$ tel que $x > b \implies |h(x)| < \varepsilon$
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On suppose la propriété, on définit $h$ par :
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$h(x) = \left\{\begin{lgathered} \frac{f(x)}{g(x)} \text{ si } g(x) \neq 0 \\ 0 \text{ si } g(x) = 0\end{lgathered}\right.$
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Si $g(x) \neq 0$ on a $f(x) = h(x)g(x)$
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Pour $\varepsilon = 1$, il existe $b \in \mathbb{R}$ tel que si $x \geq b$, $|f(x)| \leq |g(x)|$
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Donc si $g(x) = 0$, $f(x) = 0$
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Donc $f = hg$ est vérifiée
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Soit $\varepsilon > 0$, il existe $b \in \mathbb{R}$ tel que $x \geq b \implies |f(x)| \leq \varepsilon|g(x)|$
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Si $x \neq b$ et $g(x) \neq 0$, $|h(x)| = \frac{|f(x)|}{|g(x)|} \leq \varepsilon$
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et si $g(x) = 0$, $|h(x)| = 0 \leq \varepsilon$
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Donc $\lim\limits_{+\infty}h = 0$ et $f = o_{+\infty}(g)$
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