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sr-due: 2022-11-19
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sr-interval: 65
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sr-ease: 270
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up::[[équation différentielle]]
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title:: "contient une fonction et sa [[dérivation|dérivée]]", "$a(x)y'(x) + b(x)y(x) = c(x)$"
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#s/maths/algèbre
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Des [[équation différentielle|équations différentielles]] dans lesquelles seule la [[dérivation|dérivée]] [[dérivées successives|première]] apparaît.
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# Forme
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> [!example] Exemples
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> - $y' + a(x)y = b(x)$ (forme classique)
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> - $y'\ln(y + y') = \cos y$
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## Forme usuelle
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La forme la plus commune est : $y' + a(x)y = b(x)$
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- Si elles sont de la forme $m(x)y' + a(x)y = b(x)$, on les ramène à la forme précédente : $y' + \frac{a(x)}{m(x)}y = \frac{b(x)}{m(x)}$
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- Si $m(x)$ s'annule, on travaille par intervalle
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## Equations homogènes
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Les équations pour lesquelles $b(x): x\mapsto 0$ sont dites **homogènes**, ou **sans second membre**
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Elles sont de la forme $y' + a(x)y = 0$
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## Equation vérifiant une condition initiale
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Soit une équation $y' +a(x)y = b(x)$, sur un intervalle $I$
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La donnée d'une _condition initiale_ pour cette équation est la donnée de $x_{0}\in I$ et de $y_{0}\in\mathbb{R}$
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Une solution satisfaisant cette _condition initiale_ est une solution $y$ telle que $y(x_{0}) = y_{0}$
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## Equations a variables séparées
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Une équation de la forme $f(y)\cdot y' = g(x)$ (ou bien = $(f\circ y)(x)\times y'(x) = g(x)$)
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# Propriétés
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## Linéarité
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Soient $y_{1}$ et $y_2$ qui vérifient $y_{1}' + a(x)y_{1} = b(x)$ et $y_{2}' + a(x)y_{2} = b(x)$
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On a:
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- $Y = y_{1} - y_{2}$ est solution de $Y' + a(x)Y = 0$
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- Si $y_{h}$ est solution de $y'+a(x)y = 0$
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- alors $y_{h} + y_1$ est aussi solution de $y'+a(x)y = b(x)$
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- On utilise cela pour trouver des solutions
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Autrement dit : _la solution générale est la somme d'une solution particulière et de la solution de la forme homogène de l'équation_
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# Résolution
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## Résoudre une [[équation différentielle du premier ordre#Equations homogènes|equation homogène]]
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On cherche la solution générale de l'équation $y' + a(x)y = 0$
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$$\begin{align*}
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y' + a(x)y = 0 &\iff y' = -a(x)y\\
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\text{si } y \text{ ne s'annule pas : } & \iff \frac{y'}{y}= -a(x)\\
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& \iff \big(\ln(|y|)\big)' = -a(x)\\
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\text{si } A' = a :& \iff \ln|y| = -A(x) + \underbrace{C}_{C\in\mathbb{R}}\\
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& \iff |y| = e^{-A(x)+C}\\
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& \iff \left\{ \begin{gathered}
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y = e^{-A(x)} e^{C}\\
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\text{ ou }\\
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y = -e^{-A(x)} e^{C}\\
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\end{gathered} \right.\\
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\text{on pose } K = \pm e^{C} & \iff y = Ke^{-A(x)}\\
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& \text{On peut aussi avoir } K = 0, \text{ solution lorsque } y \text{ s'annule}
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\end{align*}$$
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## Résoudre l'équation complète
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### Méthode par variation de la constante
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$y' + a(x)y = b(x)$
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Une fois que l'on à résolu l'équation sans second membre.
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On à donc trouvé $A$, une primitive de $a$
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On pose $y(x) = M(x)e^{-A(x)}$
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Alors :
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- $y'(x) = M'(x)e^{-A(x)} - M(x)A'(x)e^{-A(x)}$
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- Donc : $y'(x) + a(x)y(x) = M'(x)e^{-A(x)} - \underbrace{a(x)M(x)e^{-A(x)}}_{a(x)y(x)} + a(x)y(x)$
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- $y'(x) + a(x)y(x) = M'(x)e^{-A(x)}$
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- Si $y$ est solution, alors $M'(x)e^{-A(x)} = b(x)$
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- $M'(x) = \frac{b(x)}{e^{-A(x)}} = b(x)e^{A(x)}$
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- Donc : $\displaystyle M = \int b\times e^{A}\text{d} x$
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- Et $M(x)e^{-A(x)}$ est une solution de l'équation
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**Conclusion :**
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Les solutions s'écrivent :
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$\displaystyle \underbrace{M(x)e^{-A(x)}}_{\text{solution particulière}} + \underbrace{Ke^{-A(x)}}_{\text{solution de l'équation sans second membre}}$
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Soit :
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$e^{-A(x)} (M(x) + K)$
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## Résoudre l'équation avec une condition initiale
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Lorsque l'on a aussi une [[équation différentielle du premier ordre#Forme#Equation vérrifiant une condition initiale|condition initiale]], on peut simplement d'abord résoudre l'équation différentielle, et ensuite déduire les valeurs des constantes de cette _condition initiale_.
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## Résoudre une équation a variables séparées
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Lorsque l'on a une [[équation différentielle du premier ordre#Forme#Equations a variables séparées|équation a variables séparées]]
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Soit l'équation : $(E) : f(y)y' = g(x)$
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On pose $F' = f$ ($f$ doit être intégrable)
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Alors :
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$(F\circ y)' = y' \times (F'\circ y) = f(y)\times y'$
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Soit $G' = g$
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$\begin{align*} (E):& f(y)y' = g(x)\\ & (F\circ y)' = G'\\ & F\circ y = G + \text{cste.}\\ \end{align*}$
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