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up::[[structure algébrique]]
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title::"$e$ tel que $\forall x \in E, x*e = e*x = x$"
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#s/maths/algèbre
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> [!definition]
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> Un élément $e\in E$ est appelé _élément neutre_ de $E$ pour la loi $*$ ssi : $\forall a\in E, a*e=e*a=a$
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^definition
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# Remarque
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- S'il existe $e\in E$ tel que $\forall a\in E, a*e=a$, on dit que $e$ est _élément neutre à droite_.
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- S'il existe $e\in E$ tel que $\forall a\in E, e*a=a$, on dit que $e$ est _élément neutre à gauche_
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# Propriétés
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- Un élément neutre est toujours unique ([[démonstration un groupe possède un unique élément neutre|démonstration]])
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## Démonstration
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On suppose que $E$ possède deux éléments neutres $e$ et $e'$ pour la [[loi de composition interne]] $*$
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Alors:
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- $e*e' = e$ car $e'$ est élément neutre à droite.
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- $e*e'=e'$ car $e$ est élément neutre à gauche.
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Donc $e = e'$.
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Conclusion: l'élément neutre, s'il existe, est unique.
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