cours/gists/cours analyse.md

gists

gists
id url createdAt updatedAt filename isPublic 92a99bc2c3393fdc0bc655384cd16e72 https://gist.github.com/92a99bc2c3393fdc0bc655384cd16e72 2022-09-22T22:57:58Z 2022-09-25T20:13:00Z cours analyse.md true

Notations de Laudau

Négligeabilité

Soient deux fonctions f et g, on dit que f est négligeable devant g en x_{0}\in \overline{\mathbb{R}}, et on note f = o_{x_{0}}(g) : f = o_{x_{0}}(g) \iff \lim\limits_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)} = 0

Définitions

Définition formelle

f = o_{x_{0}}(g) ssi il existe une fonction h telle que :

• \lim\limits_{ x_{0}} g = 0
• f = hg

Définition pratique

Pour les calculs, on utilise plutôt : f = o_{x_{0}}(g) \iff \lim\limits_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)} = 0

Propriétés

• f = o_{x_{0}}(g) \implies f=O_{x_{0}}(g)
  • où O désigne la domination en un point
• Si f = o_{+\infty}(g) et h = o_{+\infty}(g), alors \lambda f+\mu h=o_{+\infty}(g)
• o(1)=\varepsilon(x) car \lim\limits \frac{o(1)}{1} = 0 donc \lim\limits
• f \sim _{x_{0}} g \iff f = g+o_{x_{0}}(g)

Domination en un point

Soient deux fonctions f et g de I \setminus \{ a \} à valeurs dans \mathbb{R} (avec a \in \overline{\mathbb{R}}) f est dominée par g en $a$, ssi \frac{f}{g} est bornée au voisinage de $a$. On note alors f = \mathcal{O}_{a}(g)

Définition

f = \mathcal{O}_{a}(g) \iff \exists M \in \mathbb{R}^{+},\quad |f(x)| \leq M|g(x)| \text{au voisinage de } a Soit, formellement : \exists M\in\mathbb{R}^{+},\quad > \exists \alpha \in\mathbb{R}^{+*},\quad \forall x \in ]a-\alpha; a+\alpha[,\quad |f(x)| \leq M|g(x)|

Propriétés

• f = \mathcal{O}_{x_{0}}(g) \iff g = \mathcal{O}_{x_{0}}(f)

  • la domination est commutative
  • évident, car si \frac{f}{g} est bornée, alors \frac{g}{f} l'est aussi

• \mathcal{O}_{a}(1) désigne toute fonction bornée au voisinage de a

• Si f = \mathcal{O}(g) et h = \mathcal{O}(g), alors \lambda f + \mu h = \mathcal{O}(g) \mid_{(\lambda, \mu)\in\mathbb{R}^{2}}

  • stable par combinaison linéaire

• \mathcal{O}(\mathcal{O}(f)) = \mathcal{O}(f)

  • formellement : si f = \mathcal{O}(g) et g = \mathcal{O}(h) alors f=\mathcal{O}(h)
  • la domination est transitive

Fonctions équivalentes

Soient f et g deux fonctions, on dit qu'elles sont équivalentes en x_{0}\in \overline{\mathbb{R}}, et on note f(x) \sim_{x_{0}} g(x) ssi : \boxed{f(x)\sim _{x_{0}} \iff \lim\limits_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)} = 1}

Remarques :

• on écrit pas 0 \sim_{x_{0}} f car c'est évidamment toujours faux
• ⚠️ f \sim_{x_{0}} 0 n'a pas de sens

Autre définition

f \sim_{x_{0}} g si il existe une fonction h telle que :

• \lim\limits_{ x_{0} } h = 1
• f = hg Remarques :
• Dans cette définition, on peut avoir f \sim_{x_{0}}0
• Si x_{0}=\pm\infty, on peut définir h seulement b \geq x_{0}

Propriétés

• l'équivalence de fonctions est une relation d'équivalence

• $f \sim g \implies f \circ \varphi \sim g \circ \varphi$varphi

  • composition à droite
  • la composition à gauche ne fonctionne pas
    • x+1 \sim_{+\infty} x alors que e^{x+1}\not\sim_{+\infty} e^{x}
    • la composition fonctionne avec \ln :
      • f \sim g \implies \ln(f) \sim \ln(g)

• si \lim\limits_{ x \to x_{0} }f(x) = a \mid_{a \in \mathbb{R}^{*}} on a : f \sim_{x_{0}} a

  • si a = 0 ou a = \pm \infty alors f \not\sim_{x_{0}} a

• f \sim_{x_{0}} g \iff \alpha f \sim_{x_{0}} \alpha g \mid_{\alpha \neq 0}

  • stable par multiplication par un scalaire

• f \sim g \iff f^{\alpha}\sim g^{\alpha}\mid_{\alpha \in\mathbb{R}}

  • stable par puissance

• \boxed{f\sim_{x_{0}}g \iff f = g+o_{x_{0}}(g)}

• Avec les polynômes : Soit P(x) = a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n} un polynôme de degré n (donc a_{n} \neq 0)

  • au voisinage de 0 : P(x) \sim a_{0}
  • au voisinage de \pm\infty P(x) \sim a_{n}x^{n}