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norme	#s/maths/algèbre

[!definition] Distance Soit X un ensemble Une application d : X \times X \to \mathbb{R} est appelée distance ssi :

• \forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = d(y, x) (relation symétrique)
• \forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) \geq 0 toutes les distances sont positives ou nulles
• \forall x \in X, \quad d(x, x) = 0
• \forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y (espace séparé)
• \forall (x, y, z) \in X^{3}, \quad d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire) ^definition

[!definition] distance (définition à partir d'une norme) Soit (E, \langle\cdot,\cdot \rangle) un espace préhilbertien Soit \|\cdot\| la norme de cet espace (\|x\|^{2} = \langle x, x \rangle) On définit une distance d sur cet espace, à partir de la norme comme : \boxed{d(x, y) = \|y - x\|} ^definition-depuis-une-norme

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Propriétés

[!info] Equivalence entre distance et norme Si \|\cdot\| est une norme sur E, alors l'application \begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \to \|x-y\| \end{align} est une distance démonstration qu'une norme peut former une distance

Exemples

[!example] Exemple Soit X = \mathbb{R}^{2} \setminus \text{obstacles} !cours L3.topologie.espaces métriques et espaces vectoriels normés 2024-09-05 10.50.22.excalidraw On peut définir d(a, b) = \inf(\text{longueur de tous les chemins reliant } a \text{ à } b)