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alias: ["converge", "convergence"]
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up: "[[suite]]"
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tags: "#s/maths/analyse"
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> [!definition] [[suite convergente]] dans un [[espace métrique]]
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> Soit $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in X^{\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $X$
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> Soit $l \in X$
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> On dit que la suite $(u_{n})$ converge vers $l$ quand :
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> $\forall \varepsilon >0, \quad \exists n_0 \in N, \quad \forall n \geq n_0, \quad d(u_{n}, l) < \varepsilon$
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^definition
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> [!definition] [[suite convergente]] dans un [[structure de topologie]]
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> Soit $(E, \mathscr{T})$ un [[structure de topologie]]
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> Soit $(u_{n}) \in E^{\mathbb{N}}$
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> $(u_{n})$ **converge vers** $l \in E$ $\iff$ $\forall V \in \mathcal{V}(l),\quad \exists N \in \mathbb{N},\quad \forall n \geq N,\quad u_{n} \in V$
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> $(u_{n})$ converge vers $l$ si et seulement si, pour tout voisinage $V$ de $l$, la suite $(u_{n})$ reste dans $V$ après un certain rang $N$
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> [!definition]- [[suite convergente]] sur $\mathbb{R}$
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> Soit $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ une [[suite]] réelle
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> On dit que $(u_{n})$ _converge vers $l \in \mathbb{R}$_ si :
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> $\forall \varepsilon > 0, \quad \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \quad \forall n \geq n_{0}, \quad |u_{n} - l| \leq \varepsilon$
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^definition-R
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> [!idea] Intuition
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> Une suite $(u_{n})$ converge vers $l$ quand la suite se rapproche autant que l'on veut de $l$ pour $n$ suffisament grand.
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# Propriétés
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> [!proposition] toute suite convergente est bornée
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> Si une suite converge, alors elle est [[suite bornée|bornée]]
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> > Soit $(u_{n}) \in X^{\mathbb{N}}$ une suite qui converge vers $l$
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> > Prenons $\varepsilon = 1$ dans la définition de la convergence de $(u_{n})$ :
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> > $\exists N \in \mathbb{N}, \quad \forall n \geq N, \quad d(u_{n}, l) \leq 1$
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> > Soit $r > \max (\underbrace{d(u_0, l), d(u_1, l), \dots, d(u_{N-1}, l)}_{N \text{ termes }}, 1)$
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> > On a un nombre fini de termes $< +\infty$ donc le max est $< +\infty$
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> > Donc, on a bien $\forall n \in \mathbb{N}, \quad d(u_{n}, l) < r$, c'est-à-dire que la suite est [[fonction bornée|bornée]]
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> > On a $d(u_{n}, l) \leq \max(\cdots) < r$ si $n < N$
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> > et $d(u_{n}, l) \leq 1 < r$ si $n \geq N$, par le choix de $N$
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> > donc, $\forall n \in \mathbb{N}, \quad d(u_{n}, l) < r$
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> > Et donc $(u_{n})$ est bien bornée, puisqu'elle est contenue dans la boule $B(l, r)$
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> [!proposition] Unicité de la limite
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> Si $(u_{n})_{n}$ est une suite convergente d'éléments de $X$, alors sa limite $\lim\limits_{ n \to \infty }(u_{n})$ est unique.
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soient $l, l' \in X$ tels que $u_{n} \xrightarrow{+\infty} l$ et $u_{n} \xrightarrow{+\infty} l'$
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> > Soit $\varepsilon >0$. Comme $(u_{n})$ converge vers $l$, il existe un range $N \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geq N, \quad d(u_{n}, l) < \dfrac{\varepsilon}{2}$
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> > De même, il existe un rang $N' \in N$ tel que $\forall n \geq N', \quad d(u_{n}, l') < \dfrac{\varepsilon}{2}$
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> > Si $m = \max(N, N')$, on a alors :
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> > - $m \geq N$ donc $d(u_{m}, l) < \dfrac{\varepsilon}{2}$
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> > - $m \geq N'$, donc $d(u_{m}, l') < \dfrac{\varepsilon}{2}$
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> > En particulier, on a $d(l, l') \leq \underbrace{d(l, u_{m})}_{< \frac{\varepsilon}{2}} + \underbrace{d(u_{m}, l')}_{< \frac{\varepsilon}{2}}$
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> > D'où : $d(l, l') < \varepsilon$
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> > Comme $\varepsilon$ est quelconque, on en déduit que $d(l, l') = 0$
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> > En effet, si $d(l, l') >0$, on pourrait prendre $\varepsilon = d(l, l')$ vu que $\varepsilon$ est quelconque.
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> > Le raisonnement ci-dessus donnerait alors $d(l, l') < d(l, l')$, ce qui est absurde.
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> > On a donc bien $d(l, l') = 0$, et donc $l = l'$ par définition des distances.
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> > Alors, on peut bien conclure qu'il ne peut existe qu'une seule limite pour $(u_{n})$.
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>
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> > [!démonstration]- Autrement
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> > Soit $(X, d)$ un espace métrique,
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> > Soient $x, y \in X$
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> > On remarque que, comme $d(x, y) \geq 0$, le fait que $(u_{n})$ converge vers $l \in X$, on a :
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> > $\forall \varepsilon > 0, \quad \exists N \in \mathbb{N}, \quad \forall n \geq N, \quad d(u_{n}, l) < \varepsilon \quad\iff \quad \forall \varepsilon > 0, \quad \exists N \in \mathbb{N}, \quad \forall n \geq N, \quad |d(u_{n}, l)| < \varepsilon$
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> > Autrement dit, $u_{n} \xrightarrow{n \to +\infty} l$ ssi $d(u_{n}, l) \xrightarrow{n \to +\infty} 0$
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> > Maintenant, si $l, l' \in X$ sont limites de $(u_{n})$, on a :
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> > $0 \leq d(l, l') \leq d(l, u_{n}) + d(l', u_{n})$ (par l'[[inégalité triangulaire]])
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> > En passant à la limite $n \to +\infty$, on obtient :
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> > $\begin{array}{rccc} 0 &\leq& d(l, l') &\leq& \lim\limits_{ n \to \infty } d(l, u_{n}) &+& \lim\limits_{ n \to \infty } d(l', u_{n}) \\&&&\leq& 0 &+& 0\end{array}$
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> > Donc $d(l, l') = 0$, et on peut conclure que $l = l'$, c'est à dire que deux limites de $(u_{n})$ sont toujours égales.
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> > On a bien montré l'unicité de la limite de $(u_{n})$
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> [!proposition] Proposition
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> Soit $(u_{n})$ une suite d'éléments de $X$ qui converge vers $l \in X$
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> Soit $x_0 \in X$
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> $d(u_{n}, x_0) \xrightarrow{n \to +\infty} d(l, x_0)$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Par la [[seconde inégalité triangulaire]] :
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> > $|d(u_{n}, x_0) - d(l, x_0)| \leq d(u_{n}, l)$
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> > Comme $d(u_{n}, l) \xrightarrow{n \to +\infty} 0$ on sait alors que $d(u_{n}, x_0) \xrightarrow{n \to +\infty} d(l, x_0)$
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>
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> > [!corollaire] Corollaire
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> > Si $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in X^{\mathbb{N}}$ est une suite convergente, alors $(u_{n})$ est [[fonction bornée|bornée]]
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> >
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> > > [!démonstration]- Démonstration
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> > > Soit $l$ la limite de $(u_{n})$
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> > > Prenons $x_0 = l$
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> > > $(n \mapsto d(u_{n}, l))_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite qui converge vers $0$, donc elle est bornée
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> [!proposition] Linéarité des limites
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> Si $(E, \|\cdot\|)$ est un [[espace vectoriel]] normé.
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> Soient $(x_{n}), (y_{n}) \in E^{\mathbb{N}}$ et $(\lambda _{n}) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$
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> avec $\begin{cases} x_{n} \to x_{\infty} && x_{\infty} \in E\\ x_{n} \to x_{\infty} && x_{\infty} \in E\\ \lambda _{n} \to \lambda _{\infty} && \lambda _{\infty} \in \mathbb{R} \end{cases}$
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> Alors la suite $(\lambda _{n}x_{n} + y_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $\lambda _{\infty}x_{\infty} + y_{\infty}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On veut montrer que $d(\lambda _{n} x_{n}+y_{n}, \lambda _{\infty}x_{\infty}+y_{\infty}) \to 0$
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> > c'est-à-dire $\|(\lambda _{n}x_{n}+y_{n}) - (\lambda _{\infty}x_{\infty}+y_{\infty})\| \to 0$
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> > Or :
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> > $$\begin{align}
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> > \|(\lambda _{n}x_{n}+y_{n}) - (\lambda _{\infty}x_{\infty}+y_{\infty})\| &= \|(\lambda _{n}x_{n} - \lambda _{\infty}x_{\infty}) + (y_{n}-y_{\infty})\|\\
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> > &\leq \|\lambda _{n}x_{n} - \lambda _{\infty}x_{\infty}\| + \underbrace{\|y_{n}-y_{\infty}\|}_{\to 0} \\
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> > &\leq \|(\lambda _{n}x_{n} - \lambda _{\infty}x_{n}) + (\lambda _{\infty}x_{n} - \lambda _{\infty}x_{\infty})\| + \|y_{n} - y_{\infty}\| \\
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> > &\leq \underbrace{\|\lambda _{n}x_{n} + \lambda _{\infty}x_{n}\|}_{(1)} + \underbrace{\|\lambda _{\infty}x_{n} - \lambda _{\infty}x_{\infty}\|}_{(2)} + \underbrace{\|y_{n} - y_{\infty}\|}_{(3)}
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> > \end{align}$$
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> > - $(3)$ : $\|y_{n}-y_{\infty}\| = d(y_{n}, y_{\infty}) \xrightarrow{n \to \infty} 0$
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> > - $(2)$ : $\|y_{\infty}x_{n} - \lambda _{\infty}x_{\infty}\| = \underbrace{|\lambda _{\infty}|}_{\substack{\text{constant}\\\\\\ < \infty}}\cdot \underbrace{\|x_{n}-x_{\infty}\|}_{\xrightarrow{n \to \infty}0} \xrightarrow{n \to \infty} 0$
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> > - $(1)$ : $\|\lambda _{n}x_{n} - \lambda _{\infty}x_{n}\| = \underbrace{|\lambda _{n}-\lambda _{\infty}|}_{\to 0} \cdot \underbrace{\|x_{n}\|}_{\substack{\text{converge,} \\\text{donc bornée}}} \xrightarrow{n \to \infty} 0$
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> > Puisque $(1)$, $(2)$ et $(3)$ tendent vers $0$ quand $n \to 0$, on a bien $\|(\lambda n x_{n}+y_{n}) -\|$
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> > ...
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