cours/application linéaire.md

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applications linéaires linéaire linéaires

up::application sibling::combinaison linéaire #s/maths/algèbre

[!definition] Application linéaire Soient E et F deux $\mathbf{K}$-espace vectoriel Soit f: E \to F une application f est linéaire ssi :

• \forall (u, v) \in E^{2}, \forall \lambda \in \mathbf{K}, \quad f(u+v) = f(u) + f(v)\quad (application additive)
• \forall (u, v) \in E^{2}, \forall \lambda \in \mathbf{K}, \quad f(\lambda u) = \lambda f(u) \quad (application homogène) ^definition

Autres définitions

Soient f une application, et E et F deux espace vectoriel réels, Une application f: E \mapsto F est linéaire ssi : \forall (u, v)\in E^{2}, \forall\lambda\in\mathbb{R}, \quad f(\lambda u + v) = \lambda f(u) + f(v)

[!definition] autre définition Soit une application f : E \to F f est linéaire si et seulement si, pour toute combinaison linéaire C, on a C(f(u), f(v)) = f(C(u, v)), autrement dit si C\circ f = f\circ C

Exemples

L'application \begin{aligned} Id: & E\mapsto E\\ & u \mapsto u \end{aligned} est une application linéaire

L'application $$\begin{aligned} f: & \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}\ & \begin{pmatrix} x\y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x + y\ x - y\ 2x + 3y \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Propriétés

Soient E et F deux espace vectoriel réels de dimension finie, et f: E\rightarrow F une application linéaire, alors :

• \dim \ker f + \dim \mathrm{Im} f = \dim E (théorème du rang)
  • \dim la dimension d'un espace vectoriel
  • \ker le Noyau d'une application linéaire
  • \mathrm{Im} l'image d'une application linéaire
• Lorsque E = F, f est un endomorphisme d'espaces vectoriels de E (un endomorphisme linéaire)
  • alors f est injection
  • alors \ker f = \{0_E\}
  • alors \dim\ker f = 0
  • alors \dim\mathrm{Im} f = \dim E (grâce au théorème du rang)
  • alors \mathrm{Im} f = E
  • alors f est surjection
  • D'où : si f est un endomorphisme d'espaces vectoriels de E, f est une bijection

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