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sr-due, sr-interval, sr-ease
| sr-due | sr-interval | sr-ease |
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| 2023-08-06 | 365 | 346 |
up::structure algébrique title::"loi de composition interne associativité", "élément neutre", "touts les éléments sont éléments symétrisables" #maths/algèbre
Un ensemble G muni d'une loi de composition interne * est un groupe ssi :
- La loi est associativité
Gpossède un élément neutre- Tout élément de
Gpossède un éléments symétrisables par*
Ordre d'un groupe
L'ordre d'un groupe est le cardinal d'un ensemble de son ensemble si celui-ci est fini
Propriétés
- Un groupe n'est jamais vide
- car il ne pourrait pas posséder d'élément neutre
- Les équivalences suivantes sont véfifiées :
a*x = a*y \iff x=yx*a = y*a \iff x = ya*x=b \iff (a^{-1}*a)*x=a^{-1}*b \iff x=a^{-1}*bx*a=b \iff x=b*a^{-1}
- L'itéré $n$-ème d'un élément s'écrie :
a^{*n}oua^n- On pose
a^{*0}=e - On note
(a^{-1})^{*n} = a^{-n}, (n\in\mathbb N) - Alors:
(a^{-1})^{*n} = (a^{*n})^{-1}
- On pose
Proposition
Soit (G, *) un groupe, et a\in G.
Si il existe un entier naturel n tel que a^{*n} = e, alors il existe un plus petit entier n_0 tel que a^{*n_0} = e.
On appelle alors n_0 l'ordre de $a$.
Si n n'existe pas? on dit que a est d'ordre infini.