Propriétés

[!proposition] \emptyset est un fermé L'ensemble vide est un fermé de tout espace métrique

[!proposition] complémentaires de fermés et d'ouverts Soit A \subset X une partie de X A \text{ est fermée} \iff X \setminus A \text{ est ouverte} (partie fermée d'un espace métrique#^complementaires-fermes-ouverts)

[!proposition] Union et intersection d'ouverts Soit (X, d) un espace métrique Soit \mathcal{O} l'ensemble des parties ouvertes de X On a :

\displaystyle\forall \Omega \subset \mathcal{O}, \quad \bigcup _{O \in \Omega} O \quad\text{est ouverte}

[!démonstration]- Démonstration Si \Omega \subset \mathcal{O} une famille d'ouverts Soit \displaystyle U = \bigcup _{O \in \Omega} O Soit x \in U quelconque, \exists O \in \Omega, \quad x \in O Comme O est ouvert, il existe r > 0 tel que B(x, r) \subset O Or, O \subset U donc B(x, r) \subset U et donc, U est ouverte

\displaystyle\forall \Omega \subset \mathcal{O} \text{ finie}, \quad \bigcap _{O \in \Omega}O \quad\text{est ouverte}

! Une intersection infinie d'ouverts peut être fermée. Par exemple : \bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \left] -\frac{1}{n}; \frac{1}{n} \right[ = \{ 0 \}

[!démonstration]- Démonstration Soit \Omega \subset \mathcal{O} une famille finie d'ouverts. Soit \displaystyle V = \bigcap _{O \in \Omega} O Si x \in V, alors \forall O \in \Omega ,\quad x \in O Donc, pour chaque O \in \Omega, il existe r_O > 0 tel que B(x, r_O) \subset O Si \displaystyle r = \min_{O \in \Omega} r_0 >0 On a donc \forall O \in \Omega ,\quad B(x, r) \subset B(x, r_O) donc \forall O \in \Omega ,\quad B(x, r) \subset O et donc \displaystyle B(x, r) \subset \bigcap _{O \in \Omega} O On a trouvé r > 0 tel que B(x, r) \subset V Donc V est ouverte ^union-intersection-ouverts

[!proposition]+ Ouvert d'une partie Soit (X, d) un espace métrique Soit (Y, d) \subset (X, d) Soit A \subset Y A \text{ est un ouvert de } Y \iff \exists F \in X \text{ ouvert},\quad A = Y \cap F

[!example]- Exemple Considérons X = \mathbb{R} et Y = \mathbb{R}^{+} On sait que ]-1; 1[ est un ouvert de \mathbb{R} Ainsi, [0; 1[ = ]-1; 1[ \cap \mathbb{R}^{+} est un ouvert de \mathbb{R}^{+}

[!corollaire] \forall A \subset X,\quad A \text{ ouvert de } Y \iff A \text{ ouvert de } X

Exemples

= \emptyset est un ouvert
= X est un ouvert de (X, d)

[!example] ]0; 1[ est un ouvert de \mathbb{R} Quel que soit x \in ]0; 1[

si x \leq \frac{1}{2}, alors ]0; 2x[ = B(x, x) \subset ]0; 1[ en effet, : \begin{align} B(x, x) &= \{ y \in \mathbb{R}\mid d(x, y) < x \} \\&= \{ y \in \mathbb{R} \mid |y-x| < x \} \\&= \{ y\in\mathbb{R}\mid-x < y-x < x \} \\&= \{ y\in\mathbb{R}\mid -x+x<y<x+x \}\\&= \{ y\in\mathbb{R}\mid 0<y<\underbracket{2x}_{\leq 1} \} \end{align} On a donc bien B(x, x) \subset ]0; 1[

si x > \frac{1}{2}, alors ]2x - 1; 1[ = B(x, 1-x) \subset ]0; 1[ en effet : \begin{align} B(x, 1-x) &= \{ y\in\mathbb{R}\mid |y-x| < 1-x \}\\&= \{ y \in \mathbb{R}| x-1 < y-x < 1-x \}\\&= \left\{ y\in\mathbb{R}\mid \underbracket{2x-1}_{>0 \text{ si } x > \frac{1}{2}} < y < 1 \right\} \\&= \subset ]0; 1[ \end{align}

[!example] [0; 1[ n'est pas un ouvert de \mathbb{R} en effet, on a, pour tout r > 0 : \begin{align} B(0, r) &= \{ y \in \mathbb{R}\mid d(y, 0) < r \}\\&= \{ y\in\mathbb{R}\mid |y|<r \}\\&= \{ y\in\mathbb{R}\mid -r<y<r \} \end{align} - \dfrac{r}{2} \notin [0; 1[ car -\dfrac{r}{2} < 0 mais - \dfrac{r}{2} \in B(0, r) Donc, il n'existe aucun r>0 tel que B(0, r) \subset [0, 1[ Or, 0 \in [0; 1[ Donc [0; 1[ n'est pas ouvert dans \mathbb{R}

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