cours/lemme de Fatou.md

up:: intégration, intégrale de lebesgue sibling:: théorème de convergence monotone des intégrales #s/maths/intégration

[!proposition]+ lemme de Fatou Soit (E, \mathcal{A}, \mu) un espace mesuré Soit (f_{n})_{n\geq 0} une suite de fonctions fonction mesurable positives \boxed{\int_{E} \liminf\limits_{ n \to \infty } f_{n} \, d\mu \leq \liminf\limits_{ n \to \infty } \int_{E} f_{n} \, d\mu}

[!démonstration]- Démonstration Soit (g_{n}) la suite définie par g_{n} = \inf\limits_{k\geq n} f_{k} On sait alors que (g_{n}) est une suite croissante de fonctions mesurables positives. En appliquant le théorème de convergence monotone des intégrales, on obtient : \displaystyle \int_{E} \lim\limits_{ n \to \infty } g_{n} \, d\mu = \lim\limits_{ n \to \infty } \int_{E} g_{n} \, d\mu Or, on sait par définition que \lim\limits_{ n \to \infty } g_{n} = \liminf\limits_{ n \to \infty } f_{n}, donc : \displaystyle \int_{E} \liminf\limits_{ n \to \infty } f_{n} \, d\mu = \int_{E} \lim\limits_{ n \to \infty } g_{n} \, d\mu Et on sait aussi que \forall n \in \mathbb{N},\quad g_{n} \leq f_{n} car g_{n} = \inf\limits \{ f_{n}, f_{n+1}, f_{n+2}, \dots \} On a donc : \displaystyle \int_{E} \liminf\limits_{ n \to \infty } f_{n} \, d\mu = \int_{E} \lim\limits_{ n \to \infty } g_{n} \, d\mu = \lim\limits_{ n \to \infty } \int_{E} g_{n} \, d\mu \leq \liminf\limits_{ n \to \infty } \int_{E} f_{n} \, d\mu Et on trouve bien le résultat du lemme de Fatou : \displaystyle \int_{E} \liminf\limits_{ n \to \infty } f_{n} \, d\mu \leq \liminf\limits_{ n \to \infty } \int_{E} f_{n} \, d\mu ^theoreme

Exemples

[!example] Soit (f_{n}) la suite de fonctions mesurables positives suivante : \begin{align} f_{n} : \mathbb{R} & \to \mathbb{R}^{+} \\ x &\mapsto \frac{n}{nx + x^{2}} \mathbb{1}_{[1; +\infty[} (x) \end{align} f_{n} est mesurable positive car continue par morceaux. f_{n}(x) \xrightarrow{ n \to \infty } \frac{1}{x} \mathbb{1}_{[1; +\infty[}(x) Le lemme de Fatou assure que : \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{x} \mathbb{1}_{[1, +\infty[}(x) \, \lambda(dx)