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up::[[espace vectoriel]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] [[espace vectoriel réel]]
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> On appelle _espace vectoriel réel_ un [[espace vectoriel]] **[[espace vectoriel#Espace vectoriel sur un corps|sur]]** $\mathbb{R}$, c'est-à-dire $(\mathbb{R}^{n}, +, \cdot)$
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Continuité avec la norme infini
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> Soit $E = \mathbb{R}^{n}$ l'espace vectoriel muni de la [[norme infini]] $\|\cdot\|_{\infty}$, c'est-à-dire :
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> $\|x\|_{\infty} = \max \{ |x_1|, |x_2|, \dots, |x_{n}| \}$)
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> Soit $F$ un [[espace vectoriel normé]] quelconque
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> Alors une [[application linéaire]] :
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> $f : (\mathbb{R}^{n}, \|\cdot\|_{\infty}) \to (F, \|\cdot\|_{F})$
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> est toujours [[application linéaire continue|continue]]
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soit $e_1, \dots, e_{n}$ la base canonique de $\mathbb{R}^{n}$
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> > On note $f_1 = f(e_1) \quad f_2 = f(e_2) \quad \cdots f_{n} = f(e_{n})$
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> > alors, si $x = x_1e_1+\cdots + x_2e_2$ est un vecteur quelconque de $\mathbb{R}^{n}$
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> > $\begin{align} \|f(x)\|_{F} &= \|x_1f_1 + \cdots + x_{n}f_{n}\|_{F} \\&\leq \|x_1f_1\|_{F} + \|x_2f_2\|_{F} + \cdots + \|x_{n}f_{n}\|_{F} \\&\leq |x_1|\|f_1\|_{F} + \cdots + |x_{n}|\|f_{n}\|_{F} \\&\leq \|x\|_{\infty} (\underbrace{ \|f_1\|_{F} + \cdots + \|f_{n}\|_{F} }_{C}) \end{align}$
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> > Donc, il existe un $C$ tel que $\forall x \in \mathbb{R}^{n},\quad \|f(x)\|_{F} \leq C \|x\|_{\infty}$
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> > $f$ est donc continue
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^continuite-norme-infini
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# Exemples
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