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up: "[[ensemble des parties d'un ensemble]]"
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tags: "#s/maths/ensembles"
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> [!definition] Définition
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> Soit $E$ un ensemble
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> Soit $n \in \mathbb{N}$
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> L'ensemble des parties de $E$ à $n$ éléments est noté $\mathscr{P}_{n}(E)$ :
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> $\boxed{\mathscr{P}_{n}(E) := \{ F \subset E \mid \#F = n \}}$
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ rapport avec l'[[ensemble des parties d'un ensemble]]
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> - $\mathscr{P}_{n}(E) \subset \mathscr{P}(E)$
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> - $\displaystyle \mathscr{P}(E) = \bigsqcup_{i = 1}^{\#E} \mathscr{P}_{i}(E)$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Tous les éléments de $\mathscr{P}_{n}(E)$ sont des parties de $E$, il est donc évident que $\mathscr{P}_{n}(E) \subset \mathscr{P}(E)$
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> > Ensuite, on sait que tous les $\mathscr{P}_{i}(E),\quad i \in \{0, 1, 2, \dots, \#E \}$ sont disjoints.
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> > En effet :
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> > Soient $i, j \in \{0, 1, 2, \dots, \#E \}$ avec $i \neq j$
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> > Quels que soient $F \in \mathscr{P}_{i}(E)$ et $G \in \mathscr{P}_{j}(E)$
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> > On sait que $\#F = i$ et $\#G = j$, or on sait que $i \neq j$, donc $F \neq G$
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> > De là suit qu'aucun élément de $\mathscr{P}_{i}(E)$ n'est aussi un élément de $\mathscr{P}_{j}(E)$
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> > autrement dit : $\mathscr{P}_{i}(E) \cap \mathscr{P}_{j}(E) = \emptyset$
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> > Et donc les $\mathscr{P}_{i}(E),\quad i \in \{ 1, \dots , \#E \}$ sont bien disjoints.
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> >
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> > Montrons maintenant que leur union est égale à $\mathscr{P}(E)$.
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> > Soit $F \in \mathscr{P}(E)$.
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> > Fixons $i = \#F$.
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> > $F \subset E$ donc $\#F \leq \#E$ et on a alors $i \in \{0, 1, 2, \dots, \#E \}$
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> > Or, $\mathscr{P}_{i}(E)$ contient toues les parties de $E$ de cardinal $i$, il contient donc aussi $F$.
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> > Ainsi, on a $F \in \mathscr{P}_{\#F}(E)$.
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> > On a alors bien montré que : $\forall F \in \mathscr{P}(E),\quad \exists i \in \{ 0, 1, 2, \dots, \#E \},\quad F \in \mathscr{P}_{i}(E)$
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> > De là suit directement que :
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> > $\displaystyle\mathscr{P}(E) = \bigcup _{i \in \{ 0, 1, \dots ,\#E \}} \mathscr{P}_{i}(E)$
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> > Et on a déjà montré que cette union est disjointe.
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# Exemples
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