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alias: [ "espace affine engendré", "engendré" ]
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up:: [[espace affine]]
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sibling:: [[espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs|espace vectoriel engendré]]
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title:: "$Aff(\{ A_0, A_1, \dots,A_{k} \})$"
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description:: "plus petit espace affine contenant tous ces points"
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#maths/algèbre
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L'[[espace affine]] engendré par une famille de points est le plus petit [[espace affine]] qui contienne tous ces points.
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> [!definition] Espace affine engendré par une famille de points
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> Soit $\mathcal{E}$ un [[espace affine]]
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> Soit $\mathcal{A} = \{ A_0, A_1,\dots, A_{k} \}$ une [[famille]] de points de $\mathcal{E}$
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> - l'intersection des [[sous espace affine|sous espaces affines]] de $\mathcal{E}$ contenant tous les points de $\mathcal{A}$ est un [[sous espace affine]] de $\mathcal{E}$
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> - cette intersection est le plus petit [[sous espace affine]] qui contient $\mathcal{A}$
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> - On note $Aff(\mathcal{A})$, et on nomme **sous-espace affine engendré par $A$** ce plus petit sous-espace
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^definition
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# Propriétés
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Soit $\mathcal{E}$ un [[espace affine]]
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Soit $\mathcal{A} = \{ A_0, A_1,\dots,A_{k} \}$ une famille de points de $\mathcal{E}$ ($\mathcal{A} \subset \mathcal{E}$)
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- $\begin{align} Aff(\mathcal{A}) &= A_0+Vect(\{ \overrightarrow{A_0M} \mid M \in \mathcal{A} \}) \\ &= A_0 + Vect(\{ \overrightarrow{A_0A_1}, \overrightarrow{A_0A_2}, \dots, \overrightarrow{A_0A_{k}} \}) \end{align}$
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- L'espace affine engendré est [[direction d'un espace affine|associé]] à l'espace vectoriel engendré par les vecteurs $\overrightarrow{A_0A_1}, \overrightarrow{A_0A_2},\dots,\overrightarrow{A_0A_{k}}$
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