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engendré

up::sous groupe #s/maths/algèbre

[!definition] sous groupe engendré Soit G un groupe et S \subseteq G une partie de G L'intersection de tous les sous groupe de G qui contiennent S est appelé le sous-groupe engendré par $S$. On le note \langle S \rangle ou \left\langle S \right\rangle_{G}. Le groupe G est appelé groupe ambient du sous groupe engendré S. On peut engendrer un groupe sans groupe ambient. On parle alors de groupe libre. ^definition

[!info] Notation Si S = \{ s_1, s_2, \dots, s_{n} \} alors on écrira simplement \left\langle s_1, s_2, \dots, s_{n} \right\rangle plutôt que \left\langle \{ s_1, s_2, \dots, s_{n} \} \right\rangle

[!idea] Intuition Les sous-groupes engendrés sont similaires aux espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs.

Propriétés

[!proposition]+ Proposition Soit G un groupe et S \subseteq G Le sous groupe \left\langle S \right\rangle est le plus petit sous groupe de G qui contient S. En particulier, si H est un sous groupe de G, alors : \boxed{H \supseteq S \iff H \supseteq \left\langle S \right\rangle}

• I Similaire à la propiété : Soient E un espace vectoriel et F un sous espace vectoriel de E. F \supseteq \mathrm{vect}(x_1, \dots, x_{n}) \iff \forall i,\quad F \ni x_{i}

[!démonstration]- Démonstration Soit \Sigma l'ensemble des sous groupe de G qui contiennent S, de sorte que \displaystyle\left\langle S \right\rangle = \bigcap _{K \in \Sigma} K Soit H un sous groupe de G

1. \impliedby On suppose H \supseteq \left\langle S \right\rangle Par définition, \forall K \in \Sigma ,\quad K \supset S ainsi \displaystyle \left\langle S \right\rangle = \bigcap _{K \in \Sigma} K \supseteq S Donc G \supseteq \left\langle S \right\rangle \supseteq S
2. \implies On suppose H \supseteq S Ainsi H est un sous groupe de G contenant S, donc H \in \Sigma Ainsi, \displaystyle\left\langle S \right\rangle = \bigcap _{K\in \Sigma} K = H \cap \bigcap _{K \in \Sigma \setminus \{ H \}} K \subseteq H Le sous groupe \left\langle S \right\rangle est bien le plus petit sous groupe de G qui contienne S, car il contient tous les sous groupe de G qui contiennent S

[!proposition]+ Proposition Soit G un groupe Soit S \subseteq G

• Si S = \emptyset, alors \left\langle S \right\rangle = \{ 1 \}

• Sinon, S \neq \emptyset et : \left\langle S \right\rangle = \{ x_1x_2 \dots x_{n} \mid n \in \mathbb{N} \wedge \forall i \in [\![1; n]\!], x_{i} \in S \cup S^{-1} \} où S^{-1} := \{ s ^{-1}\mid s \in S \} \subseteq G

• I le sous-groupe engendré S est l'ensemble les compositions possibles d'éléments de S \cup S^{-1}

[!info]- Pour les groupes abéliens notés additivement Si G est abélien avec une loi notée additivement Pour S \subseteq G on a : \begin{align} \left\langle S \right\rangle &= \{ \pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots \pm x_{n} \mid n \in \mathbb{N} \wedge x_{i} \in S \} \\&= \{ x_1 x_2 \cdots x_{n} \mid n \in \mathbb{N} \wedge x_{i} \in S \cup (-S)\}\end{align}

[!démonstration]- Démonstration Si S = \emptyset alors \left\langle S \right\rangle = \{ 1 \} car :

• \{ 1 \} \subseteq \left\langle S \right\rangle car \left\langle S \right\rangle est un sg de G
• \{ 1 \} \supseteq \left\langle S \right\rangle par la proposition précédente

On suppose maintenant S \neq \emptyset Soit H la partie définie dans l'énoncé. On veut montrer que H est un sous groupe de G : On a bien 1 \in H car (le produit pour n = 0 ou) 1 = s \cdot s ^{-1} où s \in S (car s ^{-1} \in S) Soient x, y \in H, avec x = x_1, \dots x_{m} et y = y_1, \dots yd_{n} et x_{i}, y_{j} \in S \cup S^{-1} Si y_{j} \in S^{-1}, alors \exists z \in S,\quad y_{j} = z^{-1} donc y^{-1} = (z^{-1})^{-1} = z \in S On a alors : \begin{align} xy^{-1} &= (x_1\dots x_{m})(y_1 \dots y_{n})^{-1}\\ &= \underbrace{x_1 \cdots x_{m}}_{\in S \cup S^{-1}} \underbrace{y^{-1}_{n}\cdots y^{-1}_{1}}_{\substack{\text{si } y_{j} \in S \text{ alors } y_{j}^{-1} \in S^{-1}\\\text{si } y_{j}\in S^{-1} \text{ alors } y_{j}^{-1} }} \end{align} Donc on a bien xy^{-1} \in H, et donc \forall j,\quad y_{j} \in S \cup S^{-1}

Exemples

[!example] Dans \mathbb{Z} \left\langle 2 \right\rangle = 2\mathbb{Z} = \{ 2k \mid k \in \mathbb{Z} \} et \left\langle 2, 3 \right\rangle= \mathbb{Z}

• I pour montrer cette égaliter, il suffit de montrer que \left\langle 2, 3 \right\rangle \supseteq \left\langle 1 \right\rangle, donc il suffit de montrer que 1 \in \left\langle 2, 3 \right\rangle, ce qui est vrai car 1 = 3 - 2