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alias: [ "orthogonale" ]
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up:: [[matrice]]
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title:: "$\,^T\!M M = Id$"
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] Matrice orthogonale
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> Soit $\mathbf{K}$ un corps
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> Soit $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbf{K})$ la [[matrice associée à une application linéaire]]
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> $M$ est *orthogonale* ssi $\boxed{^T\!M\cdot M = Id_{n}}$
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> - [i] On montre que les matrices orthogonales sont les matrices composées de vecteurs unitaires.
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^definition
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> [!definition] Définition géométrique
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> Une matrice orthogonale est la matrice d'une [[base orthonormée]].
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> C'est-à-dire que tous ses vecteurs sont [[vecteur unitaire|unitaires]] et deux-à-deux [[vecteurs orthogonaux|orthogonaux]]
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> - [!] Une matrice orthogonale correspond à des vecteurs **[[base orthonormée|orthonormés]]** (on devrait dire "matrice orthonormale")
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# Propriétés
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Soit $M$ une matrice orthogonale
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Soient $u$ et $v$ des vecteurs
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- $\det M = \pm1$
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- sur un [[espace euclidien]] :
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- $\|u\| = \left\| Mu \right\|$ conserve la [[norme]]
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- $u.v = (Mu) . (Mv)$ conserve le [[produit scalaire]]
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- on en déduit $u \bot v \iff (Mu) \bot (Mv)$
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- les vecteurs des colonnes (resp des lignes) de $M$ sont tous :
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- [[vecteur unitaire|unitaires]]
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- deux-à-deux [[vecteurs orthogonaux|orthogonaux]]
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- conservation de la [[norme]] : $\|M u\| = \|u\|$
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- conservation du [[produit scalaire]] : $\langle Mu, Mv \rangle = \langle u, v \rangle$
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- l'[[endomorphisme d'espaces vectoriels]] associé à $M$ est [[endomorphisme normal]]
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- Toute matrice **orthogonale** est :
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- soit une [[matrice de rotation]]
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- soit une [[matrice de symétrie]]
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