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up::arithmétique title:: a \equiv b [n] \iff n \mid a-b #s/maths/arithmétique

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[!definition] Congruence La congruence modulo n est la relation qui est vraie si n \mid a-b \boxed{a \equiv b[n] \iff n\mid a-b} ^definition

Propriétés

• la congruence est une relation d'équivalence pour tout n \in \mathbb{N}

Opérations sur les congruences

• ka \equiv kb [kn] \iff a \equiv b[n] démonstration simplification de la congruence#Simplification totale

  • [!] ka\equiv kb[n] \;\;\;\not\!\!\!\!\!\iff a\equiv b[n]

• \begin{cases} ka\equiv kb[n]\\ \text{pgcd}(k, n) = 1 \end{cases} \implies a\equiv b[n] démonstration simplification de la congruence#Simplification partielle (sans le modulo)

  • [!] on ne peut simplifier que si k et n sont nombres premiers entre eux

• Si n est nombre premier, alors \left( \left( \raise{2pt}\mathbb{Z}/\raise{-2pt}{n\mathbb{Z}} \right)^{*} , \times \right) est un groupe, et donc tous ses éléments sont inversibles. les équations de la forme kx \equiv i [n] \Big|_{i\in\mathbb{Z},\, k\in\mathbb{Z}^{*}} ont alors une unique solution, x = k^{-1}\times i