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up::MOC arithmétique #maths/arithmétique

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Le Plus Grand Commun Diviseur de plusieurs nombres (souvent deux) est noté \text{pgcd}(a; b; c;\cdots) et est le plus grand nombre qui divise tous ces nombres

[!definition] PGCD \mathrm{pgcd}(a;b) = \mathrm{max} \{ d \in \mathbb{Z} \mid (d \mid a) \wedge (d \mid b) \}

Ou bien, pour plus de deux nombres : \mathrm{pgcd}(x_{1};x_{2};x_{3};\cdots) = \mathrm{max} \{ d \in \mathbb{Z} \mid (d\mid x_{1}) \wedge (d\mid x_{2}) \wedge (d\mid x_{3}) \cdots \}

^definition

[!definition] autre définition Le \text{pgcd} de x_1, x_2, x_3,\ldots est le produit de l'intersection des ensemble avec répétitions des décomposition en facteurs premiers de chacun des nombres x_1,x_2,x_3,\ldots ^definition

[!info] Notation Le \mathrm{pgcd} de a et b peut être noté :

• \mathrm{pgcd}(a;b) ou \text{PGCD}(a;b)
• a\wedge b
• a ∨ b en APL
  • plus cohérent quand on est sur \{0; 1\}
• a and b en python

Propriétés

Soient a et b deux entiers non nuls

• \mathrm{pgcd}(a,b)\times\mathrm{ppcm}(a,b)=|ab|
  • ppcm