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up:: [[points critiques d'une fonction]], [[fonction de plusieurs variables]]
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#maths/analyse
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> [!definition] matrice hessienne
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> Soit une fonction $\begin{align} f :\;& \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\\&(x_1, x_2, \dots ,x_{n}) \mapsto f(x_1,\dots,x_{n}) \end{align}$
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> Dont toutes les [[dérivée partielle|dérivées partielles]] secondes existent.
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> La matrice hessienne de $f$, $H(f)$ est définie comme :
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> $\displaystyle H_{ij}(f) = \frac{ \partial f }{ \partial x_{i} \partial x_{j} }$
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> Donc :
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> $$ H(f) =
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> \begin{pmatrix}
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> \dfrac{ \partial f }{ \partial {x_1}^{2} } & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_1 \partial x_2 } & \cdots & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_1 \partial x_{n} } \\
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> \dfrac{ \partial f }{ \partial x_2 \partial x_1 } & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_2 \partial x_2 } & \cdots & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_2 \partial x_{n} } \\
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> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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> \dfrac{ \partial f }{ \partial x_n \partial x_1 } & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_n \partial x_2 } & \cdots & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_n \partial x_{n} } \\
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> \end{pmatrix}
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> $$
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> Le [[déterminant hessien]] permet de déduire des propriétés sur la fonction (points critiques)
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^definition
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> [!definition] Définition par rapport au [[gradient d'une fonction|gradient]]
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> Soit $\nabla f$ le [[gradient d'une fonction|gradient]] de $f$, on a :
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> $H_i(f) = \dfrac{ \partial \nabla f }{ \partial x_{i} }$
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> Soit :
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> $\displaystyle H_{ij}(f) = \frac{ \partial }{ \partial x_{i} } \left( \nabla f \right)_{j}$
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# Propriétés
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- [[déterminant hessien]]
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