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Soit \varphi\in\varepsilon([a,b]) une fonction escalier sur [a,b] Soit s=(x_i)_{0\leq i\leq n}\in\cal S([a,b]) une Subdivision d'un intervalle sur [a,b] adaptée à \varphi On note \lambda_i la valeur de \phi sur ]x_i,x_{i+1}[ On montre que le réel : \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\Big( (x_i-x_{i+1})\lambda_i \Big)

ne dépend pas de la subdivision adaptée à \phi. Ce réel est appelé l'intégrale de \varphi sur $[a,b]$ et noté \displaystyle\int_a^b\varphi(x)\, dx

Fonction intégrable au sens de Riemann

une fonction bornée f: [a,b]\rightarrow \mathbb{R} est intégrable au sens de Riemann, ou encore Riemann intégrable, si : Pour tout \varepsilon>0 il existe des fonctions en escalier \varphi et \psi sur [a,b] telles que :

\displaystyle \forall x\in[a,b], \varphi(x)\leq f(x)\leq \psi(x) et \displaystyle\int_a^b\Big( \psi(x) - \varphi(x) \Big) \, dx \leq \varepsilon

Si f est Riemann intégrable sur [a,b], on a :

\displaystyle
\sup\left\{ \int_a^b\varphi(x)\, dx \Big| \varphi\in\varepsilon([a,b]), \varphi\leq f\right\}
= 
\inf\left\{ \int_a^b \psi(x) \, dx \Big| \psi\in\varepsilon([a,b]), f\leq\psi \right\}

Et ce nombre est appelé l'intégrale de f sur [a,b] et noté \displaystyle\int_a^b f(x)\, dx

Intégrale par les sommes de Riemann

Soit \sigma = (s_{0}, \dots, s_{n}) une Subdivision d'un intervalle de [a; b]. Soit X = (x_{0}, \dots, x_{n-1}) le $n$-uplet de [a;b] adapté à \sigma Soit f \in C^{0}([a;b]) On définit la somme de Riemann de f associée à \sigma et X par : \displaystyle S_{\sigma, X}(f) = \sum\limits_{i=0}^{n-1}\Big((s_{i+1}-s_{i})f(x_{i})\Big)

Ce nombre est la somme des aires des rectangles de base [s_{i}; s_{i+1}] et de hauteur f(x_{i}), donc une approximation de l'aire sous le graphe f. En prenant des subdivisions de plus en plus fines, on converge vers l'aire sous le graphe, donc vers l'intégrale.

[!definition]- Lemme (convergence avec des subdivisions plus fines) Soit f \in C^{0}([a, b]) On note \omega le module de continuité de f Soient \sigma = (s_{0}, \dots, s_{n}) et \tau = (t_{0}, \dots, t_{n}) deux subdivisions de [a, b] telles que \tau est plus fine que \sigma On pose :

• X = (x_{0}, \dots, x_{n-1}) un $n$-uplet de [a, b] associé à \sigma
• Y = (y_{0}, \dots, y_{n-1}) un $n$-uplet de [a, b] associé à \tau On a alors : \left| S_{\sigma, X}(f) - S_{\tau, Y}(f) \right| \leq (b - a)\omega(P(\sigma))

[!info] Démonstration Comme \tau est plus fine que \sigma, pour tout k \in \{ 0, \dots, n \}, il existe i_{k}\in [\![ 0; m]\!] tel que s_{k} = t_{i_{k}}. Ainsi si i_{k} \leq i < i_{k+1} - 1, on a y_{i} \in [t_{i}, t_{i+1}] \subset [s_{k}, s_{k+1}]

Propriétés

Toute fonction réelle fonction continue sur un segment [a,b] est Riemann intégrable. De même pour toute fonction continue par morceaux, pour toute fonction continue sauf en un nombre fini de points, pour toute fonction continue sauf en in nombre ensemble infini dénombrable de points.

Toute fonction réelle fonction monotone suru un segment [a,b] est Riemann intégrable.

Soient f et g deux fonctions Riemann intégrables sur [a,b] et soit k\in\mathbb{R}, Alors les fonctions k\cdot f et f+g sont Riemann intégrables. De plus : \displaystyle \int_a^b (k\cdot f)(x) \, dx = k\cdot\int_a^b f(x)\, dx et \displaystyle \int_a^b (f+g)(x)\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_a^b g(x) \, dx (L'intégration est un morphisme sur l'ensemble des fonctions muni de l'addition et de la multiplication externe).

Relation de Chasles

Soient (a,b,c)\in\mathbb{R}^3 tel que a<b<c et f une fonction intégrable au sens de Riemann sur [a,c]. Alors la fonction f est intégrable sur [a,b] et sur [b,c] et vérifie l'égalité : \displaystyle\int_a^c f(x)\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_b^c f(x)\, dx

Généralisation

soit f une fonction Riemann intégrable sur [a,b]. On note \displaystyle\int_a^b f(x)\, dx = -\int_a^b f(x)\, dx. Donc \displaystyle\int_a^a f(x)\, dx = 0 Alors, pour tout (a,b,c)\in\mathbb{R}^3 et toute fonction f Riemann intégrable sur un segment contenant a, b et c, on a la relation de Casles généralisée : \displaystyle\int_a^c f(x)\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_b^c f(x)\, dx

Inégalités

Soient f et g deux fonctions Riemann intégrables sur [a,b]. On a :

• si f\geq0, alors \int_a^b f(x)\, dx \geq 0
• si f\leq g, alors \int_a^b f(x)\, dx \leq \int_a^b g(x)\, dx