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Suites
Somme des termes d'une suite géométrique \displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}q^{k} ::: \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}
Suite de Cauchy
??
Suite (u_{n})_{n} telle que \forall \varepsilon > 0, \quad \exists n \in \mathbb{N}, \quad \forall i>n, \forall j>n, \quad |u_{i}-u_{j}| < \varepsilon
(la différence entre deux termes tend vers 0 en +\infty : \lim\limits_{ i,j \to +\infty } |u_{i}-u_{j}| = 0)
Suite convergente
??
Suite (u_{n})_{n} telle que \exists \mathscr{l} \in \mathbb{R}, \quad \forall \varepsilon>0, \quad \exists L>0, \quad \forall n \geq L, \quad |u_{n} - \mathscr{l}| \leq \varepsilon
Limites
\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = :: = 1 (Car \mathrm{DL}_{1}(0): \sin x = x + o(x))
\lim\limits_{ n \to +\infty } \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n} :: e démonstration limite (1+1÷n)*n
\displaystyle \lim\limits_{ n \to +\infty } \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^{n} :: e^{x} démonstration limite (1+1÷n)*n
Séries
Théorème de Parseval
?
\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^{2} \, dx \pi \left( \frac{|a_0|^{2}}{2}+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left( |a_{n}|^{2} + |b_{n}|^{2} \right) \right)
Critère de Cauchy
?
L = \limsup\limits_{ n \to \infty }|u_{n}|^{\frac{1}{n}} est fini.
Alors le rayon de CV est \displaystyle R = \frac{1}{L}
Règle d'Abel pour les séries ? Si :
a_{n}est décroissante et tend vers 0b_{n}a la suite de ses somme partielle d'une suite bornée alors\sum\limits_{n} a_{n}b_{n}converge
Règle d'Abel uniforme pour une série ? Si :
a_{n}est décroissante, et série de fonctions convergence uniforme vers 0b_{n}a ses somme partielle d'une suite bornées Alors\sum\limits_{n} \left( a_{n} \cdot b_{n} \right)série de fonctions convergence uniforme
Produit de Cauchy de deux séries :
\displaystyle \left( \sum\limits_{i\geq 0} a_{i} \right)\cdot \left( \sum\limits_{j \geq 0} b_{i} \right) = ?
?
\displaystyle \sum\limits_{d \geq 0} \left( x^{d} \sum\limits_{i=0}^{d} \left( a_{i} \cdot b_{d-i} \right) \right)
Séries de Fourier
Série de Fourier d'une fonction f
?
\displaystyle a_0 = \frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx
\displaystyle a_n = \frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx
\displaystyle b_{n} = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx
\displaystyle SF_{f}(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n \geq 1} \Big( a_{n}\cos(nx) + b_{n}\sin(nx) \Big)
Théorème de Parseval
??
\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^{2} \, dx = \pi \left[ \frac{|a_0|^{2}}{2} + \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \Big( a_{n}\cos(nx) + b_{n}\sin(nx) \Big) \right]
Soit f une fonction $2\pi$-périodique
\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi } |f(x)|^{2} \, dx = ?
??
Soit f une fonction périodique
\pi \left[ \frac{|a_0|^{2}}{2} + \sum\limits_{n=0}^{+\infty } \Big( a_{n}\cos(nx) + b_{n}\sin(nx) \Big) \right] = ?